2020版高考数学第九章平面解析几何11第10讲定值、定点、探索性问题新题培优练文新人教A版

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1、第10讲定值、定点、探索性问题[基础题组练]1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，且∠BF1C＝60°，则该双曲线的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D．2解析：选C.不妨设点B在x轴的上方，则点B的坐标为，由于∠BF1C＝60°，则＝tan30°＝，得e2－2e－＝0，即(e＋1)(e－)＝0，得e＝.故选C.2．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1.若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

2、y1－y2

3、的值为(　　)A.B.C.D.解析：选D

4、.由题意知，c＝＝＝3，所以椭圆的焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)．设△ABF2的内切圆半径为r.因为△ABF2的内切圆周长为π，所以r＝.根据椭圆的定义，有

5、AB

6、＋

7、AF2

8、＋

9、BF2

10、＝(

11、AF1

12、＋

13、AF2

14、)＋(

15、BF1

16、＋

17、BF2

18、)＝4a＝20，所以S△ABF2＝(

19、AB

20、＋

21、AF2

22、＋

23、BF2

24、)×r＝×4a×r＝5＝×2c×

25、y1－y2

26、＝3

27、y1－y2

28、，所以

29、y1－y2

30、＝.故选D.3．(2019·安徽合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的

31、值为________．解析：由e2＝1－＝，得＝.设M(x，y)，A(m，n)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝，①把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化简，可得k1·k2＝－＝－.答案：－4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直

32、线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，

33、

34、＝2，所求圆的方程为x2＋＝4；当t＝±1时，

35、

36、＝，所求圆的方程为x2＋＝2.5．(2019·黑龙江齐齐哈尔八中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且

37、AB

38、＝，直线l2：y＝k(x－m)

39、与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点Q，若·是一个与k无关的常数，求实数m的值．解：(1)联立方程，得解得y＝±，故＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，c＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得消元得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2k2m2－2＝0，所以Δ＝16m2k4－4(1＋2k2)(2k2m2－2)＝8(2k2－m2k2＋1)，x1＋x2＝，x1x2＝，·＝＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋k2(x1－m)(x2－m)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2m2＝＋，又·是一个与k

40、无关的常数，所以3m2－5m－2＝－4，即3m2－5m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝，因为m>，所以m＝1.当m＝1时，Δ>0，直线l2与椭圆C交于两点，满足题意．[综合题组练]1．(2019·湖北省五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．解：(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x2≠0，因为m·n＝0，所以＋y1y2＝0，所以k1·k2＝＝－.(2)①当直线PQ的斜率不存

41、在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－，得－y＝0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，所以

42、x1

43、＝，

44、y1

45、＝，所以S△POQ＝

46、x1

47、·

48、y1－y2

49、＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因