2020版高考数学第三章导数及其应用4第4讲导数的综合应用（第1课时）利用导数解决不等式问题新题培优练

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1、第1课时利用导数解决不等式问题[基础题组练]1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(0，1)　　　B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：选A.设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝

2、0.因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)的图象的示意图如图所示．当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，00，x<－1，所以使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.2．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)A．a≤1B．a≥1C．a≤2D．a≥2解析：选A.由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x

3、)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A.3．(2019·郑州第二次质量预测)设函数f(x)＝ax2－(x＋1)lnx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0.(1)求a的值；(2)求证：当0＜x≤2时，f(x)＞x.解：(1)f′(x)＝2ax－lnx－1－，由题意，可得f′(1)＝2a－2＝0，所以a＝1.(2)证明：由(1)得f(x)＝x2－(x＋1)lnx，要证当0＜x≤2时，f(x)＞x，只需证当0＜x≤2时，x－－lnx＞，令g(x)＝x－lnx，h(x)＝

4、＋，由g′(x)＝1－＝0，得x＝1，易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，故当0＜x≤2时，g(x)min＝g(1)＝1.h′(x)＝，当0＜x≤2时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，2]上单调递增，故当0＜x≤2时，h(x)max＝h(2)＝＜1，即h(x)max＜g(x)min，故当0＜x≤2时，h(x)＜g(x)，即当0＜x≤2时，f(x)＞x.4．(2019·武汉武昌调研)已知函数f(x)＝lnx＋，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＞0时，证明f(x)≥.解：

5、(1)f′(x)＝－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＞0时，若x＞a，则f′(x)＞0，函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增．若0＜x＜a，则f′(x)＜0，函数f(x)在(0，a)上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a＞0时，f(x)min＝f(a)＝lna＋1.要证f(x)≥，只需证lna＋1≥，即证lna＋－1≥0.令函数g(a)＝lna＋－1，则g′(a)＝－＝(a＞0)，当0＜a＜1时，g′(a)＜0，当a＞1时，g′(a)＞0，所以g(a)在(0，1)

6、上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g(1)＝0.所以lna＋－1≥0恒成立，所以f(x)≥.[综合题组练]1．(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝lna.由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，l

7、na)；由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞)．综上，当a≤0时，f(x)的单调减区间为R；当a＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，lna)；单调减区间为(lna，＋∞)．(2)因为∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，则ax≤，即a≤.设h(x)＝，则问题转化为a≤()max，由h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝.当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)h′(x)＋0－h(x)极大值由上表可知，当x＝时，函数h(x

8、)有极大值，即最大值为.所以a≤.2．(综合型)(2019·陕西质量检测(一))已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－1.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)证明：f(x)≤g(x)；(3)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，＋∞)均成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝，所以f′(1)＝1.又f(1)＝0，所以切线的方程为