2.圆的对称性 (1)

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1、2.圆对称性(1)垂径定理灵宝市二中焦艳琴3.2圆的对称性圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?●O你是用什么方法解决上述问题的?圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒AmB大于半圆的弧叫

2、做优弧,如记作(用三个字母).ABC⌒mD③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?ABCDM└⌒AmB由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.题设结论垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点

3、B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理三种语言定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=B

4、D.●MAB┗平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.不是直径.如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求⊙O的半径。E.ABO练一练:试金石解:连结OA。过O作OE⊥AB,垂足为E,则OE=3厘米,AE=BE。∵AB=8厘米∴AE=4厘米在RtAOE中,根据勾股定理有OA=5厘米∴⊙O的半径为5厘米。你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及逆定理●OABC

5、DM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥A

6、B,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理的推论如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM已知:⊙O中弦AB∥CD。求证:AC=BD⌒⌒证明:作直径MN⊥AB。∵AB∥CD,∴MN⊥CD。则AM=BM,CM=DM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弦)AM-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?圆的两条平行弦所夹的弧相等试一试P9

7、312挑战自我填一填1、判断:⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.()⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行.⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.()2.已知:如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB<CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.3、已知:如图,⊙O中,AB为弦,C为弧AB的中点,OC交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求⊙O的半径OA.4.如图,圆O与

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