1-5重言式与蕴含式

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1、1-5重言式与蕴含式1-5.1重言式（tautology）定义1-5.1[重言式]:给定一个命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为T，则称该命题公式为重言式或永真公式。1-5重言式与蕴含式1-5.1重言式（tautology）定义1-5.2[矛盾式]:给定一个命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为F，则称该命题公式为矛盾式或永假公式。1-5.1重言式（tautology）性质1-5.1若A和B均为重言式，则AB及AB也为重言式。性质1-5.2若A是一个重言式，则对A的同一个分量都用另外一个合式公式置换，所得公式仍为重言式。例：(PQ)(PQ)是

2、重言式(P14)P用RT替换，还是重言式。1-5.1重言式（tautology）定理1-5.3设A、B为两个命题，AB当且仅当AB为一个重言式。证明：若AB，则A、B有相同的真值，由双条件定义AB永为T。上例是重言式，则(PQ)(PQ)德.摩根律得证若AB为重言式，则AB永为T，故A、B有相同的真值，即AB。1-5.2蕴含式(implication)定义1-5.3[蕴含式］当且仅当ＰＱ是一个重言式时，我们称“Ｐ蕴含Ｑ”，并记作ＰＱ。对于ＰＱ来说，逆换式为：ＱＰ反换式为：ＰＱ逆反式为：ＱＰ有ＰＱ与ＱＰ不等价，ＰＱＱＰ，ＱＰＰ

3、Ｑ（命题与逆否命题等价）1-5.2蕴含式(implication)证明AB的方法：要证AB，即证AB是重言式，或证其逆反式BA是重言式即可。要证AB是重言式：（推理法）（1）假设A为T时，说明B也为T。[因为当A为T，B为F时，AB为F]或（2）假设B为F时，说明A也为F。[因为可得B为T时，A也为T，即BA是重言式]（此方法是命题逻辑中的一个基本证明方法）可使用表1-5.2的蕴含式1-5.2蕴含式(implication)例：n是整数，证明若n2是奇数，n也是奇数。证明：（反证法）若n是偶数，n2也是偶数。设n=2k，k是一个整数，则n2=(2k)2=2(2

4、k2),所以n2是偶数。所以原命题得证。1-5.2蕴含式(implication)例：见P21例1课上做表1-5.2的11式看表1-5.2，记住常用的蕴含式。1-5.2蕴含式(implication)定理1-5.4：设P、Q为任意两个命题公式，PQ的充分必要条件是PQ且QP。证明：由定理1-5.3，PQ，则PQ为重言式，因为由表1-4.7PQ(PQ)(QP)，故(PQ)为T且(QP)为T，即PQ且QP成立。反之，若PQ且QP成立，则(PQ)为T且(QP)为T，因此PQ为T，PQ为重言式，即PQ。这个定理也可作为两个公式等价的定义。1-5.3蕴含的性质*

5、（1）设A、B、C是合式公式，若AB且A是重言式，则B必是重言式。*（2）若AB，BC，则AC（传递性）*（3）若AB，AC，则ABC（4）若AB，CB，则ACB以上性质在推理中常用。特别说明：如果推导蕴含，则可以用等价的式子替换，因为“等价”比“蕴含”强，好比“大于等于”与“等于”的关系。作业（1-5）P23.(1)b)c)(2)b)说明：（6）~（8）先不做，因为有效性第八节讲。1-6其它联结词定义1-6.1不可兼析取(ExclusiveOR)：设P和Q是两个命题公式，复合命题PQ称作P和Q的不可兼析取。PQ的真值为T，当且仅当P与Q的真值不相同时为T，

6、否则，PQ的真值为F。真值表如下：PQPQTTFTFTFTTFFF1-6.1不可兼析取的性质设P、Q、R为命题公式，则有（1）PQQP交换性（2）（PQ）RP（QR）结合性（3）P(QR)(PQ)(PR)分配性（4）PQ（PQ）（PQ）（5）PQ（PQ）由定义得到（6）PPF，FPP，TPP1-6.2条件否定定义1-6.2条件否定设P和Q是两个命题公式，复合命题PQ称作P和Q的条件否定。PQ的真值为T，当且仅当P的真值为T，Q的真值为F，否则，PQ的真值为F。真值表如下：CPQPQTTFTFTFTFFFFCCC1

7、-6.2条件否定的性质由定义可知：PQ（PQ）C1-6.3与非定义1-6.3与非设P和Q是两个命题公式，复合命题PQ称作P和Q的“与非”。当且仅当P和Q的真值都为T时，PQ的真值为F，，否则PQ的真值都为T。真值表如下：PQPQTTFTFTFTTFFT1-6.3与非的性质（1）PQ（PQ）（2）PP（PP）P（3）（PQ）（PQ）（PQ）PQ（4）（PP）（QQ）PQ（P