经典模糊控制问题-倒摆

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1、倒摆控制问题经典的倒摆系统，多年来一直是控制理论中的一个令人感兴趣的问题。例　倒摆系统简图如例图a所示，设计和分析其模糊控制器。1/18系统的微分方程其中m是摆尖杆的质量，l是摆长，θ是从垂直向上方向的顺时针偏转角。τ=u(t)为作用于杆的逆时针扭矩［u(t)是控制作用］。描述系统的微分方程：2/18状态方程，当偏转角θ很小时，有，线性化后得：假设为状态变量，状态方程：3/18离散化模型若所测x1用度表示，x2用每秒弧度表示，当取l=g和m=180/(π·g2)时，线性离散时间状态方程可用矩阵差分方程表示：线性化模型：此问题

2、中，设上述两变量的论域为－2o≤x1≤2o和－5rad/s≤x2≤5rad/s。4/18第1步：输入量的模糊化第1步：首对x1在其论域上建立三个隶属函数，即如例图b所示的正值(P)、零(Z)和负值(N)。然后，对x2在其论域上亦建立3个隶属函数，即例图c所示的正值(P)、零(Z)和负值(N)。5/18第2步：输出量的模糊化第2步：为划分控制空间(输出)，对u(k)在其论域上建立5个隶属函数，－24≤u(k)≤24，如例图d所示(注意，图上划分为7段，但此问题中只用了5段)。6/18第3步：用表1所示的3×3FAM（模糊联想记

3、忆）表的格式建立9条规则(即使我们可能不需要这么多)，在本系统中为使倒摆系统稳定，将用到θ和。表中输出即控制作用u(k)。第3步：建立模糊控制规则表表1FAM表x2x1PZNPPBPZZPZNNZNNB7/18第4步：模糊推理、控制第4步：我们可用表1中规则导出该控制问题的模型。用图解法来推导模糊运算。下面的清晰性初始条件作为模型的初值：x1(0)=1o和x2(0)=-4rad/s。然后，我们在上例中取离散步长0≤k≤3，并用矩阵差分方程式导出模型的四步循环式。模型的每步循环式都会引出两个输入变量的隶属函数。FAM表产生控制

4、作用u(k)的隶属函数。我们将用重心法对控制作用的隶属函数进行非模糊化，用递归差分方程解得新的x1和x2值。k=0之后的每步模型循环式都以前一步的x1和x2为开始，并作为下一步递归差分方程式的输入条件。8/18第4步：模糊推理、控制例图e和例图f分别为x1和x2的初始条件。从FAM表有：IF(x1=P)and(x2=Z)THEN(u=P)μP(u)=min(0.5,0.2)=0.2IF(x1=P)and(x2=N)THEN(u=Z)μZ(u)=min(0.5,0.8)=0.5IF(x1=Z)and(x2=Z)THEN(u=Z

5、)μZ(u)=min(0.5,0.2)=0.2IF(x1=Z)and(x2=N)THEN(u=N)μN(u)=min(0.5,0.8)=0.59/18第4步：模糊推理、控制图g表示了控制变量u的截尾模糊结果的并。具有非模糊化了的控制值的最终形式如图h所示。10/18依次类推，我们利用和作为第二步循环的初始条件，图解说明如例图i和例图j所示。第4步：模糊推理、控制我们已经完成了模型的第一步循环式，现在我们取已非模糊化了的控制变量值（即u=-2），再利用系统方程式找出下步迭代的初始条件。11/18第4步：模糊推理、控制从FAM表

6、得：IF(x1=N)and(x2=N)THEN(u=NB)μNB(u)=min(1,0.2)=0.2IF(x1=N)and(x2=Z)THEN(u=N)μN(u)=min(1,0.8)=0.8模糊结果的并和所得非模糊输出如例图k所示。非模糊化值u=-9.6。12/18我们得到第三步循环的初始条件和，图解说明如例图l和例图m所示。第4步：模糊推理、控制现用u=-9.6找出第三步循环式的初值：13/18第4步：模糊推理、控制从FAM表中得：IF(x1=N)and(x2=P)THEN(u=Z)μZ(u)=min(1,1)=1所得模

7、糊输出结果的并和非模糊输出如例图n所示。非模糊化值u=0。14/18有初始条件和，图解说明如例图o和例图p所示。第4步：模糊推理、控制对下一步迭代来说：15/18第4步：模糊推理、控制从FAM表有：IF(x1=Z)and(x2=P)THEN(u=P)μP(u)=min(0.2,0.32)=0.2IF(x1=Z)and(x2=Z)THEN(u=Z)μZ(u)=min(0.2,0.68)=0.2IF(x1=P)and(x2=P)THEN(u=PB)μPB(u)=min(0.8,0.32)=0.32IF(x1=P)and(x2=Z

8、)THEN(u=P)μP(u)=min(0.8,0.68)=0.68图解说明如例图q所示，具有非模糊化了的控制值u=8.84。16/18第4步：模糊推理、控制如上所述，我们用u=8.84找出下一步迭代的初始条件：在初始条件和作用下，可继续进行第5步循环的计算。…在例图r中画出x1(k)、x