（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题2.5二次函数与幂函数（讲）（含解析）

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1、第05讲二次函数与幂函数---讲1.了解幂函数的概念．掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.3.高考预测：（1）与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；（2）幂函数的图象与性质的应用.4.备考重点：（1）“三个二次”的结合问题；（2）幂函数图象和性质.知识点1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x

2、x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R

3、[0，＋∞){y

4、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【典例1】（2019·江西高三期中（文））幂函数的图象经过点，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】设幂函数的解析式为，∵点在函数的图象上，∴，即，解得，∴，∴．故选B．【思路点拨】幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，利用待定系数法，先求幂指数，得到函数解析式，进一步求函数值.【变式1】（2019·上海高考模拟）设，若为偶函数，则______．【答案】【解析】由题可知，时，，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；时，不满足f(-x)=f(x),．故答案为：．知识点2．二次函数(1)二次函数解析式

5、的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称【典例2】【2017浙江，5】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–m（）A．与a有关，且

6、与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【重点总结】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．【变式2】（2019·吉林高三期中（理））函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是（）A．B．C．D．【

7、答案】C【解析】作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2]．故选：C．考点1二次函数的解析式【典例3】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－

8、m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三　(利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选

9、择规律如下：【变式3】已知二次函数的图象经过点，它在轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，求f(x)的解析式．【答案】【解析】∵对恒成立，∴的对称轴为.又∵图象被轴截得的线段长为2，∴的两根为1和3.设的解析式为．又∵的图象过点，∴.∴所求的解析式为，即.考点2二次函数图象的识别【典例4】(2019·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)【答案】C【解析】若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，则一