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《对多边形内、外角和的认识与运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、对多边形内、外角和的认识与运用从课本屮我们知道，多边形的一个内角与它的外角共用一条射线，两者既有区别，乂有联系.最基木的区别就是概念不同，最基本的联系就是两者Z和为180°.下面从区别和联系两个方面来深入探讨一下.一、多边形的内角和在推导多边形的内角和公式时，用到了转化的数学思想，将多边形的内角和问题转化成若干个三角形的内角和的问题•即从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，它们将n边形分成5-2）个三角形.这（n-2）个三角形的所有内角拼在一起就是n边形的内角和，从而得到n边形的内角和是（n-
2、2）?180°（n±3）・如图1,六边形可以分成四个三角形，所以六边形的内角和就是四个三角形的内角度数之和:（6-2）X1800=720°・例1（依葫芦画瓢）九边形的内角和是・【分析】直接利用公式解题：（9-2）X1800二1260°.例2（方程思想）一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是（）・A.4B.5C.6D.7【分析】已知一个多边形的内角和，求边数，可先设边数，再根据内角和公式列出方程求解.有些数学问题从形式上看虽然不是方程问题，但通过挖掘等量关系，可以转化为方程.同学们应在平时的学习中
3、掌握并运用方程思想.【答案】设这个多边形为n边形，则有:（n-2）?180°=720°,An=6.选C.二、多边形的外和和在一个多边形的每个顶点处各取一个外角（每个顶点处有两个外角）,这些外角的和叫做多边形的外角和.n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°,n个外角连同它们各自相邻的内角的总和等于n?180°,所以外角和为n?180°-（n-2）?180°=360°,即多边形的外角和等于360。,它与边数的多少无关.如图2,五边形一共有10个外角，而五边形的外角和则是Z1+Z3+Z5+Z7+Z
4、9二360。・例3（小试牛刀）一个多边形的每个外角都等于45。,那么这个多边形的内和和为（）・A.675°B.720°C.900°D.1080°【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和.由于已知多边形每个外角均为45。，从而可知多边形边数n为360。一45。二8,进而求出多边形的内角和为（8-2）X1800=1080°,故选D.三、两者的联系例4（“内”“外”兼修）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）・A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形【分析】已知任意多边形的外角和是360。，可知
5、其内角和是720。,利用内角和公式（n-2）?180°=360°X2,得n二6,故选C.【答案】C.例5（由“内”而“外”）已知一个多边形各个内角都等于150°,求这个多边形的边数.【分析】本题可以有两种方法：（1）这是一道利用多边形内角和求多边形边数的应用题•解题的关键是要明确多边形各个内角相加即为多边形的内角和•多边形的内角和表示为（n-2）?180°的形式，由于所给多边形的每个内角的度数都相等，所以多边形的内角和又表示为n?150°,从而可列出方程求解.（2）已知每个内角都等于150°,易得每个外角
6、都是30°,再根据多边形外角和为360。,可求出边数.【答案】方法一：设多边形的边数为n,由题意，得（n-2）?180°=n?150°,解得n=12,即这个多边形的边数是12.方法二：由题意，得这个多边形的每个外角都是180°-150°二30。,所以多边形的边数n二360°—30°二12.例6（以“偏”概“全”）已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内和都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数.【分析】（1）因为多边形的每个外角与和它相邻的内角相加等于180°,根据题意，可先求出外角的度数，再求
7、边数；（2）由于本题所给的条件是多边形的内角与外角之间的关系，所以还可以转化为这个多边形的内角和与外角和之间的关系.【答案】方法一：设多边形的每一个外角为X,则它的每个内角为9x・根据题意，得x+9x二180。，解得x二18。・所以这个多边形的边数为「360。4-18°=20.方法二：设多边形的边数为n・根据题意，得(n-2)?180°=9X360°・解得n二20.所以这个多边形的边数为20.正确运用数学的转化和方程思想，理解内角和与外角和的联系与区别是学好本节内容的关键.(作者单位：江苏省海门市六甲初中
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