导数概念及计算(复习用)

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1、第十讲导数概念及计算（重点中学复习用）知识要点1.导数的定义：设心是函数y=f（x）定义域的一点，如果口变量兀在心处有增量心，则函数值7也引起相应的增量/（x0+心）-/（x0）;比值型二/（必+心）-/（心）称为函数p=/（x）在点心到“&之间的Ar山平均变化率；如果极限1面型二恤/（M+37（x。）存在，则称函数y=f⑴在点心处可导，并把这个心->0AxmtOAjvf（xx/I.x=m0）=lim"5+加）7（心极限叫做y=f（x）在兀o处的导数。丿l丿在点观处的导数记作1°3。△兀2.导数的实质：是函数值相

2、对于自变量的变化率3•导数的几何意义，物理意义函数尸/⑴在点心处导数的儿何意义：就是Illi线=f（x）在点仇丿⑴）处的切线的斜率，函数尸/⑴在点心处导数的物理意义：通常是指物体运动到点（"），/⑴）处的瞬时速度。4•曲线的切线定义：当点/趋近于点P时，割线戸丘趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线。5.求函数在点（x0,/W）处的切线方程与求函数过点（x0,/（x））的切线方程的区别6•常见八个基本函数的导数：④(cosx)'=-sinx；®C=0；（C为常数）；②（*）'=处小:®（exy=e

3、x:®（axy=axa；7•导数的四则运算：③(sinx)'=cosx⑦(lnx)=—;X⑧(log")'1xlna法则1:两个函数的和（或差）的导数即：［/（X）士g（x）］'=广⑴士g©）法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即：［/（兀）・g（x）］'=广（兀）g（x）+/（x）g©）常数与两数的积的导数等于常数乘以函数的导数：（CA（x）j=cf（X）.（C为常数）法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减公分付的导数与分子的积

4、，再除以分付的平方:「/(训_/'(x)g(x)-/(x)g©)()tor—耐—丽)°&复合函数的导数形如y=/［0（x）］的函数称为复合函数。复合函数求导法则：令“=0（X）,典例精讲例1.分别用导数定义法、导函数的函数值法、公式法求函数尹=眉在兀=1处的导数。例2.设函数/⑴在点X。处可导，试求下列各极限的值.(1)lim/(x0-Av)-/(x0)；(2)恤/(兀+力)一/(兀0-/7)&toAx力to2h(3)若f(x0)=2,贝IJlim等于()52kA.-1B.-2C.1D.丄2例3.（1）函数的團像如

5、團所示，下列数值排序正确的是＜〉A.0

6、数：I①y=(x2+2x)3；②y=e5+4r；③y二即ax?+bx+c；④y=(sinx2)^；⑤y=ln(x+Jl+F)；⑥y=x3lig3x；⑦y二竺竺；⑧y=xn/(xGR+znER).sin2x例8•已知q〉0,函数/(x)=x3-a,xg［0,+oo),设兀］〉0,记曲线y=f(x)在点M(兀］,/(“))处的切线为I•(1)求/的方程；(2)设，1111与X轴交点为(X2,O),求证：①七》小；②若X］〉G’，则小＜兀2＜兀1例9.求抛物线y=/上的点到直线*_y_2=0的最短距离.例10.将水注入锥

7、形容器屮，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度.(如图)Qinx例□•已知关于兀的方程—=k(kG(0,1))(-3k,0)U(0,3k)内有且仅有4个根，从小到大依次为Xxpx2,x3?x4.⑴求il:x4=tanx4；(2)&否存在常数t使得x2,x3,x4成等差数列?若存在求出£的值，否则说明理由.例12.如图，DP丄x轴，点M在DP的延长线上，门DM=2DP.当点P在圆%24-/=1上运动时。(I)求点M的轨迹C的方程；(II)过点7(0,/)作

8、岡x2+j?=1的切线/交曲线C于A,B两点，求AA0B面积S的最大值和相应的点T的坐标。反馈练习一、选择题(每小题5分，共20分)1c1.已知/(x)=xlnx,若f(x°)=2,则xo等于()A.e2B.eC珂-D.In22.3.若曲线尹=<的一条切线/与直线x+纱一8=0垂直，贝IJ/的方程为()A.4x—y—3=0B.x+4y—5=0C.4x~y+3