专题八思想思想方法11

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1、专题八数学思想方法第1课函数与方程思想［考点分析纵观近儿年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题屮既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数思想是通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，用两数的形式表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解。应用函数思想解题的关键是：善于观察题目的结构特征，揭

2、示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去实施解题。方程思想则是从分析问题中的数量关系入手，将问题中的条件与关系转化为方程(组)，通过解方程(组)使问题获解的思想•应用方程思想解题的关键是：深入分析问题的特点，抓住某一关键变量，构造汕表示若干变量间关系的等式来处理。点整合K基点问题U通过构造函数，利用函数性质解题例1.不等式4v+log3x+x2>5的解集为解：设函数f(%)=4v+log3x+,a:e(0,+oo),易判断/(x)在(0,+oo)上单调递增，又注意到/(1)=5,所以原

3、不等式可化为/(x)>/(l),故原不等式的解集为(1,收)。点评：不等式4v+log3x+x2>5很难用常规的方法求解，但通过构造函数，利用其单调性求解，简洁巧妙。K基点问题2』通过构造方程，利用方程根的性质解题例2・已知远二£=13、b、cWR),则有()A.b2>4acB.b2>4acC.b2<4acD.b2<4ac解：法一：依题设有a-5~b-y[5+c=0,•:V5是实系数一元二次方程aF+bx+c=0的一个实根；•••△=b?-4ac>0/•b2>4ac故选B；法二：去分母，移项，两边平方得:

4、5b2=25a2+1Oac+c2>106zc+2-56r-c=20r/c,/.b2>4ac故选B点评：解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程思想、函数与方程的合理转化使问题得到解决；解法二转化为是d、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。K基点问题3》利用函数方法研究数列的性质例3.设函数/(x)=log2x——(04：_2^”_1=

5、0，解得色=乃±J^+i,0an<0,.an=n->Jn2+1；:,an=n-^+｛=,易知｛色｝单调递增，所以最小项的值是—n+2+1点评：数列本是一种特殊的函数，所以解决数列问题，往往要用函数的观点来分析。本例，首先从0<2“”v1由指数函数性质求出陽<0,.-.①=斤-厶?+1,再通过函数/（〃）=单调递增求出最小项。K热点考向13利用函数与方程思想求参变量的取值范围例4.已知函数/（%）=x3-x2--ax+h^a,hg7?）的一个极值点为x=,函数/z（

6、x）=or2+x+h的两个零点为00（Q<0）,函数/（兀）在区间00］上是单调的.（I）求Q的值；（II）求0的取值范围。解：(I)T/(x)=F+or+b,.•.广(无)=3兀2—2兀+Q.又f(x)的一个极值点为x=1,/A(l)=3xl2—2x1+6/=0..*.a=-l.(II)由(I)fx)=3x2-2x-l=(3x+l)(x-l),・°・函数/（x）在-,1上单调递减，在［1,+00）上单调递增.当—丄时，.广(x)>0;当一丄1时,f(兀)〉()；--上单

7、调递增，在31-J1+4Z?°1+J1+4Z?•.•函数/?(%)=ox2+%+/?的两个零点为a,/3(av0),即x2-x-b=0的两根为a,0(a<0),・：a+0=1,a/3=—b,a—/3=—J1+4Z?。・・・区间［a,0］只能是区间Coo,.!I3・・•函数/（x）在区间［a,0］上是单调的，所以,［L+oo）之一的子区间.由于a+0=l（av0）,故［q,0］匸若a<0,则a+0vl,与&+/?=1矛盾.[a,0]匸[0,1].・・・方^x2-x-b=0的两根a,0都在区间［0,1］上.令

8、g(x)=x2—x_b,g(兀)的对称轴为x=—e[0,l]o2（g（（））=_bno1则;黑4。解得盲心0・・•・实数0的取值范围为"-丄,0<4A=l+4/?>0点评：本例巧妙地把三次函数的单调性和二次函数的寒点问题冇机整合在一起，要求运用方程思想研究根的性质，将一个根的分布问题问题结合函数/（x）在区间［a,0］上的单调性，再运用函数思想，将二次方程根的性质问题转化为二次函数的图象特征进行研究.K热点考向23利用函数与方