矩阵论(华中科技大学)课后习题答案(1)

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1、习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间（1），对矩阵加法和数乘运算；（2），对矩阵加法和数乘运算；（3）；对中向量加法和如下定义的数乘向量：；（4），通常的函数加法与数乘运算。解：（1）、（2）为R上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对有1=，而题（3）中（4）不是，若k<0，则，数乘不满足封闭性。2.求线性空间的维数和一组基。解：一组基dimW=n(n+1)/23.如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1=dimU2，而且，证明：U1=U2。证明：因为dimU1=dimU2，故设为空间U1的一组基，为空间U2的一组基，有而，

2、C为过渡矩阵，且可逆于是由此，得又由题设，证得U1=U2。4.设，讨论向量是否在R(A)中。解：构造增广矩阵矩阵A与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵A的3个列向量线性表示，在列空间R(A)中。5.讨论线性空间P4[x]中向量，，的线性相关性。解：而，该矩阵秩为2所以向量组P1,P2,P3线性相关。6.设，证明dimR(A)+dimN(A)=n。证明：，假定dimR(A)=r，且设为R(A)的一组基则存在，其中不全为零使显然上述n-r个向量线性无关，而，s

3、n7.设，求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵A的秩为2，从A中选取1、2列（线性无关）作为R(A)的基，于是由，，rank(A)=2，有分别取和，求得齐次方程解空间的一组基所以A的零空间为8.在中，已知两组基，，，，，，求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵在基{Gi}下的坐标X。解：由此，得过渡矩阵再由解得9.判别下列集合是否构成子空间。（1）；（2）；（3）中，；（4）。解：（1）不是子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取k=2，，，而，。（2）不是子空间，因为W2中没有零元。（3）、（4）为

4、子空间。10.设，，，，，，求和。解：设，则且于是，有即而取，得所以由于rank(A)=3则11.在矩阵空间中，子空间，，其中，，求（1）V1的基和维数；（2）和的维数。解：（1）中，令，可验证A1，A2，A3线性无关，它们构成空间V1的一组基，空间V1的维数dimV1=3。（2）中，B1与B2线性无关，它们是V2的一组基，故dimV2=2，而V1+V2=L{A1,A2,A3}+L{B1,B2}=L{A1,A2,A3,B1,B2}在的标准基E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵于是dim

5、(V1+V2)=4，由维数定理12.设和为的子空间，，，证明。证明：对W1，由，解得显然W1的维数dimW1=n-1，而向量组为W1的一组基。对W2，由，解得W2的基为，dimW2=1于是这里所以为W1+W2的基，则dim(W1+W2)=n，由维数定理可知，故有13.中，，，判别下面定义的实数是否为内积。（1）；（2）；（3），其中A为正定矩阵。解：（1）不是上的内积。设，于是内积的线性性不满足。（2）与（3）是上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。13.设是V5的标准正交基，又，，，求的标准正交基。解：W的标准正交基14.在欧氏空间R4中，求子空

6、间的正交补子空间W⊥。解：设令由得解得所以15.判断下列变换哪些是线性变换（1）R2中，；（2）R3中，；（3）中，A为给定n阶方阵，，；（4）中，，为A的伴随矩阵。解：（1）不是，该变换为非线性变换设，则（2）是线性变换（3）不是，因有（4）是线性变换而16.设R3中，线性变换T为：，i=1,2,3，其中，，，，，，求（1）T在基下的矩阵；（2）T在标准正交基下的矩阵。解：（1）由及得于是（2）中标准基正交基由得因为故有于是17.设线性变换，有，求N(T)和R(T)。解：由，得下述齐次方程组解得所以由，得故有或18.在欧氏空间Rn中，设有两组基与，满足关

7、系式，证明：（1）若与都是标准正交基，则P是正交阵；（2）若是标准正交组，P是正交阵，则是标准正交组。证明：（1）将矩阵P按列分块，有其中于是故矩阵P为正交矩阵。（2）与（1）证明过程类似，可证明是标准正交基。习题二1.设A、B为n阶方阵，是A的特征值，证明（1）tr(AB)=tr(BA)；（2）；（3）若，则。证明：（1）设，，则（2）因为，，……，故为的特征值，于是（3）由结论（1），得2.设n阶方阵，且，i=1,2,…,n，证明A的每一个特征值的绝对值。证明：设有，，并设对中第k个方程于是即有3.设三阶方阵的二重特征值对应有两个线性无关特征向量，（1

8、）求与；（2）求，使。解：（1）因齐次方程的解空间维数为2，则矩阵