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1、抽象函数有关问题含有函数记号“”有关问题解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。由于函数概念比较抽象，对函数记号的更是感到困惑，针对这一问题，归纳这类知识进行分析如下：一、定义域问题例1.已知函数的定义域是［1，2］，求的定义域。解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足，从而函数的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求的定义域问题，相当于已知中的取值范围为A，据此求的值域问题。例2.已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被作用的对象都在中，
2、由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求的取值范围。例2和例1形式上正相反。二、函数值与值域问题例1.已知定义域为的函数，同时满足下列条件：①，；②，求，的值。解：取=2，=3得。因为，，所以又取，得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取=2，=3，这样便把已知条件，与欲求的沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。例2.设函数定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：时，，函数为单调函数。令，得，即有
3、或。若，则，，对任意，均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有第13页共13页抽象函数有关问题下面来证明，对任意，0设存在，使得=0，取，则=这与上面已证的矛盾，因此，对任意，0，所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。例3、（递推法求函数值）已知是定义在R上的函数，=1,且对任意x∈R都有，。若，则=_________.解：由，得，所以，即，所以故，又，故三、求表达式：（5种方法）1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法。例1：已知,求.解：设,
4、则∴∴2.凑合法或称为配凑法：已知，利用公式对代数式变形，把并凑成以表示的代数式，再利用代换，即可求出。例2：已知，求解：∵又∵∴，(
5、
6、≥2)注意：函数定义域的求解3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知是二次实函数，且+2+4,求.第13页共13页抽象函数有关问题解:设=，则=，比较系数得∴4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当>0时,,求解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。设，->0,∴,∵为奇函数，∴∴当<0时=－（）=∴练习：已知=为奇函数,当>0时,,
7、求解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。∵->0,∴,∵为奇函数，∴，∴当<0时，∴例5．已知为偶函数，为奇函数，且有+，求,.解：∵为偶函数，为奇函数，∴,,不妨用-代换+=………①中的,∴即－……②显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求第13页共13页抽象函数有关问题解：∵的定义域为N，取=1,则有，∵=1,∴=+2,……，以上各式相加，有=1+2+3+……+=，∴6、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例7.已知，求的表达式
8、解：用代替得到（1），又（2）2（1）-（2）得到：，于是四、利用函数性质，解的有关问题1.判断函数的奇偶性：例1已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0,则已知等式变为……①在①中令=0，则2=2，∵≠0，∴∴∴∴为偶函数。2、单调性问题例2.设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数、，有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得=，则或，若，令，，得，则，与时的已知条件矛盾，所以0，即有=1，当时，>0；当时，，，而，所以，又当时，，所以对任意，恒有。设，则,，所以=，所以在R上为增函数。另解，论证如下：，代入，得，由已知当时，，则评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看
9、作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。变式训练1.设定义于实数集上，对于任意实数、，有，当时，都有，求证：在R上为减函数。第13页共13页抽象函数有关问题证明：设，则=，即，，，所以在R上为减函数。变式训练2：设定义于上，对于任意实数、，有，当时，都有，求证：在上为减函数。证：设，，，，已知当时，都有，，，则在上为减函数。3、对称性问题（1）设均
