指数函数习题精选精讲.doc

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1、指数函数　　指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．　　1．比较大小　　例1　已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．　　分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．　　解：∵，　　∴函数的对称轴是．　　故，又，∴．　　∴函数在上递减，在上递增．　　若，则，∴；　　若，则，∴．　　综上可得，即．　　评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进

2、行讨论．　　2．求解有关指数不等式　　例2　已知，则x的取值范围是___________．　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．　　解：∵，　　∴函数在上是增函数，　　∴，解得．∴x的取值范围是．　　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．　　3．求定义域及值域问题　　例3　求函数的定义域和值域．　　解：由题意可得，即，　　∴，故．∴函数的定义域是．10　　令，则，　　又∵，∴．∴，即．　　∴，即．　　∴函数的值域是．　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定

3、义域对它的影响．　　4．最值问题　　例4　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．　　分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．　　解：令，则，函数可化为，其对称轴为．　　∴当时，∵，　　∴，即．　　∴当时，．　　解得或（舍去）；　　当时，∵，　　∴，即，　　∴时，，　　解得或（舍去），∴a的值是3或．　　评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．　　5．解指数方程　　例5　解方程．　　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．　　评注：解指数方程通常是通过换元

4、转化成二次方程求解，要注意验根．　　6．图象变换及应用问题10　　例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）．　　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度　　B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度　　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度　　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度　　分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．　　解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．　　评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基

5、本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：　　（1）若，比较与；　　（2）若，比较与；　　（3）若，比较与；　　（4）若，且，比较a与b；　　（5）若，且，比较a与b．　　分析：设均为正数，则，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对；对．用语言叙述即在y轴右侧，底越大其图象越远离x轴；在y轴左侧，底越大，其图象越接近x轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y轴；当底均小于1时，底越小，

6、其图象越接近y轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．　　解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．　　（2）由，故．又，故．从而．　　（3）由，因，故．又，故．从而．10　　（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．　　（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．　　小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2、(1)指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().　　　　　　　　分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升

7、降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.　　解:由可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是或,进而再判断①②与和的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令,①②对应的函数值分别为和,由可知应选.　　(2)曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是( ).　　 10　　　　　　(　　分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.　　小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识