第3章-向量组

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1、第三章向量组的线性相关性与秩向量的基本概念和运算向量组的线性相关性向量组的秩和最大无关组向量组的秩和矩阵的秩的讨论向量空间的基本概念本章将介绍：1引言、向量的概念向　　量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：　可随意平行移动的有向线段代数形象：　向量的坐　标　表　示　式坐标系2定义n个有顺序的数所组成的数组叫做n维向量，数叫做向量的分量（或坐标），个分量.§3.1向量及其相关性1.基本概念分量为实数的向量称为实向量；分量为复数的向量称为复向量.3例如矩阵的一行元素是一个向量；矩阵的一列元素也是一个向量.为列向量.称为行

2、向量;常称每一个方程中变量的系数就构成一个n维行向量.中，如方程组4确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际意义5向量的相等.即两个向量相等，就是各个对应的分量都相等.设都是n维向量，则规定:零向量分量都为零的向量称为零向量,记作O.负向量设称的负向量.6向量的运算行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.定义设都是n维向量，规定定义即：两个向量相加减就是将它们的对应分量相加减.7定义设是n维向量，λ是实数,规定注向量相加及数乘两种运

3、算统称为向量的线性运算.即：数乘向量就是用数乘以向量的每一个分量.8由定义，易证：向量的线性运算满足如下运算规律9附：线性方程组的矩阵表示10矩阵形式：AX=0数的形式：其中：向量形式：其中注：齐次线性方程组不同的表示形式：111、线性相关性引言设有方程组易知方程间有关系(3)=2×(1)+(2),若记:3.1.2向量组的线性相关性则即经线性运算得到.12定义（线性组合）或说线性表示.则说向量的线性组合，于是知,方程组中有无多余方程等价于在相应的向量组中是否有某个向量能由其余向量线性表示.13定义（线性相关）则说向量组线性相关，否则称它们线性无关.

4、问:如何用定义来验证一组向量线性相关或线性无关?14注⑵零向量与任一向量线性相关.注⑶两个非零向量线性相关的充要条件是对应分量成比例，即注⑷对单个向量为线性相关，为线性无关.注⑴线性无关的叙述线性无关关于定义的几点注意：15故线性相关.例(P69例3)讨论向量组线性相关性.使于是得解设有16证设有故线性无关.易知：任一n维向量可由n维单位坐标向量组线性表示.例(P68例1)n维向量组结论n维单位坐标向量组是线性无关的.称为n维单位坐标向量组。17证1819定理1向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.证20（必要性

5、）证毕.思考：若线性相关，是否一定能用其余向量线性表出？（不一定）21定理2设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示式是唯一的.22证毕23易知，一个m×n的矩阵Am×n既可以看作是由m个n维的行向量构成；也可以看作是由n个m维的列向量构成，反之亦然.2矩阵与向量组这里，我们来建立矩阵与向量组之间的联系.24故A可表示为25证结论矩阵A的列向量组线性相关的充要条件是齐次线性方程组Ax=0有非零解.其中证毕26类似地有，矩阵A的行向量组线性相关的充要条件是齐次线性方程组ATx=O有非零解.其中x=由上可见，向量间的相关性问题可借助于矩阵或齐次线

6、性方程组来表述.熟悉同一个问题的不同形式表述，对于学好第三章及以后内容是很重要的.27§3.2线性相关性的判定定理本节将讨论从不同的角度（如向量组中向量的个数、维数、以及分量的顺序）提出向量组线性相关的判定条件利用矩阵来判别向量组的线性相关性28从而定理3若线性相关，则也线性相关.证因为线性相关，故有不全为零的数使29定理4设有两个n维列向量组即向量是把的第一、二个分量对调而得，则向量组A与向量组B的线性相关性相同.证记3031显然可知，方程组Ax=O与方程组Bx=O是同解的，故若A组线性相关，B组也线性相关；若A组线性无关，B组也线性无关.即它们

7、的线性相关性相同.定理4/设有两个n维列向量组其中是这n个自然数的某个确定的排列，则向量组A与向量组B的线性相关性相同.32注定理4与定理4/对行向量情形也同样成立.定理5设有两个列向量组即向量是由添加一个分量而得，若向量组A线性无关，向量组B也线性无关.33记定理5的证明34由于方程组Bx=O的前r个方程即是Ax=O的r个方程，故方程组Bx=O的解一定是Ax=O的解.因为向量组A线性无关，所以Ax=O只有零解，从而Bx=O也只有零解,因此向量组B也线性无关.35推论r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组。若r维向量组线性无关，则n维

8、向量组亦线性无关；反过来，若n维向量组线性相关，则r维向量组亦线性相关.以上我们给出了几个判别线性相关性的定理，为帮助记忆