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《高中理科数学解题方法篇数列》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、iW中数列解矗方法及综合学校姓名cyh高考递推数列分类类型1:渗透三角函数周期性数列与三介函数的结合是一类创新试题，利川三介函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1(2008年湖南卷，18,满分12分)22HJT~HJT数列｛务｝满足ai=l,a2=2,an+2=(14-cos一)an+sin一=1,2,3...22求a3，a%并求数列｛a“｝的通项公式；rrjr解因为所]以：l,t?2=2,a3=(1+cos2—)Q]+sin2—=+1=2,22為=(1+cos$;r)a2+sin271-2a2=4一般地当时2=2R-1伙w
2、N*),。2知1=[l+cos2—―]^2k-+sin2——ti=a2k_｛+1,即a2k+1-a2k_｝=1所以数列曜2首顺为公差为的等差数列因此仏一=kri22k兀、.22k兀小2ka2U2=[1+cos-—^]a2k+S11T〒=2a2k所以数列陆胃项为公比陆的等比数列因此g"M+]——,n=2k—gNj故数列鶴週项公式为色=2n229n=2k（keN*）本题分为两种情况，采取非常规的递推数列求通项的方法，利用三角函数的诱导公式寻找递推关系，体现三角函数的周期性，进而求出该数列的通项为一分段数列。例2（2009年江西，文，21,满分12分）22数列｛an｝
3、的通项an=772（cos--sin—）,其前n项和为（1）求S„；（2）令叽=邑「,求数列何｝的前n项和Gn•4"h-rj..I—n7C.777Ti./解：(1)由于cossin——=cos，故233=(°[+。2+。彳)+(。4++。6)+•••+(。3—2+^3k-l+)(12+22小(42+52「(3k—2)2+(3£—1尸小、“=(——+3-)+(——-—+6「)++(3R门13311弘一5R(9R+4)2=一+一+...+=22222(4—9幻$3—1=S3k~a3k=£(4—9k)+(3k—I)?(3—1)213—213R-2=$3«-1~a3k-H=
4、k=一巴■-丄,n=3k-236(n+1)(1-3/?)*小=3k—丘N)故片=22366n(3n+4)_QZ6⑵仇=亠二心“/?•4”24〃才143225+4、T=-(—+—+...+)n24424〃灯1/X229/?+44T=—(13+——+...+)"244"-1两式相减得3Tn=-(13+—+...+"2494“t£9__9_%+4、1心（4一历％+4、）可（13+丁厂-一）I44〃=8-丄-竺22"-3故T=-—"33^2nA-例3(2009年江西，理8,5分)2财3n2数列｛an｝的通项a”=2(cos2•n7T、一sin——),33其前n项和为sn,则
5、（）A.470B.490类型2：an+i=an+f（n）解法思路：把原递推公式转化为an+i-an=f（n）,例4（2008,江西，理5）C.495D.510利用累加法（逐差相加法）求解在数列｛a*｝中,al=2,an+i=an+ln(1+—),]1!0an=nA•2+lnnB.2+(n-l)InnC.2+nlnn例5(2009,全国I,理22)在数列｛aj屮，珀=1如］=(1+丄)©+舟学AZL(1)设仇亠,求数列｛%｝的通项公式;n(2)求数列｛务｝的前n项和。解：⑴由已知得$=ax=1,且=—+—n+1n2"即仇+1=仇+*从而乞=+丄，方3=乞+丄D.1+n+
6、lnn于是久訥+*+右+…+占=2—占(Q2)乂勺=1故所求通项公式为仇=2-厶2(2)由man=n(2-^)=2n--令—工缶,则27＞工為R=11于是7；=2Tn-Tn=亍缶一希=4一罟二k=()//乂工(2k)=n(n+1)Jt=l所以片=n(n+l)+-4类型3：an+1=f(n)an解法思路：把原递推公式转化为也匸乜=/(〃)，利用累乘法(逐商相乘法)求解例6(2004,全国I,理15)已知数列｛aj,满足a
7、=1,an=a)+2a2+3a?+...+(n—1)an-1(n2),贝lj｛aj的通项an=解：由已知，得an+i=ai+2a2+3a：3+...+
8、(n—1)an-j+nan,用此式减去己知式,得当n$2时，an+i—an=nan,即an+1=(n+l)an,又a2=ai所以％=1,玉=1,,幺=3,纟=4,...上「》,将以上力个式子相乘，得a[a2a3an-l类型4：an+i=pan+q(其中p、q均为常数，且pq(p—1)HO)解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+I-t=p(an-t),其中2—纟一，再1一〃利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列來解(见后文)，或直接用逐项迭代法求解。例7(2008年，安徽，文21)设数列｛a“｝满足Hi=a,an+l=can+1—c
