数字图像处理 第7章_傅立叶变换(1)

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1、第七章频域处理7.1频域世界与频域变换7.2傅立叶变换7.3频域变换的一般表达式7.4离散余弦变换7.5频率域图像增强处理7.6小波变换简介7.1频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波(余弦波)的加权和正弦波的振幅A和相位φ波形的频域表示(a)幅频特性；(b)相频特性空域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法:完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。为什么选择正交变换？变换后能量更加集中，相关性大大减少；若X到Y为正变换，则由Y到X反变换一定存在；A-1=AT，计算简单；是线性变换，变换前后能量不变。7.2傅立叶变换（Fo

2、urierTransform）7.2.1背景介绍傅立叶(JeanBaptiseJosephFourier1768-1830)法国伟大的数学家，主要贡献：傅立叶级数：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式。傅立叶变换：非周期的任意函数也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示。7.2.2连续函数的傅立叶变换若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)（1）具有有限个间断点；

3、（2）具有有限个极值点；（3）绝对可积。则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。一维傅立叶变换对的定义为式中：，x称为时域变量，u称为频域变量。以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为式中：x,y为时域变量；u,v为频域变量。7.2.3离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform－DFT)设{f(x)

4、f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其一维离散傅立叶变换对为式中：x，u=0，1，2，…,

5、N－1。通常傅立叶变换为复数形式，即式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。其中

6、F(u)

7、————f(x)的频谱或傅立叶幅度谱；φ(u)————f(x)的相位谱；E(u)——能量谱或功率谱。二维离散傅立叶变换对定义为式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1。二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为xf(x0)=f(x0+x)012312347.2.4离散傅立叶变换的计算与显示例一：F(0)=1/4Σf(x)exp[0]=1/4[f(0)+f1(1)+f(2)+f(3)]=1/4(2+3+4+4)=3.25F(1)=1/4Σf(x

8、)exp[-j2πx/4)]=1/4(2e0+3e–j2π/4+4e–j2π2/4+4e–j2π3/4)=1/4(-2+j)F(2)=-1/4(1+j)F(3)=-1/4(2+j)16×16的图像原始灰度值例二：傅立叶变换后的频谱幅度值对傅立叶变换计算结果的讨论与分析：为什么说傅立叶变换是线性正交变换？傅立叶变换后F(0,0)代表什么含义？傅立叶变换后高频和低频分量怎样分布，各自幅度值有何特点？为什么说傅立叶变换后能量更加集中，图像中的大部分能量集中在高频还是低频？傅立叶变换结果示意图原图像DFT1频移22223333132333DFT的频谱分布1直流成分2低频成分3高频成分离

9、散傅立叶变换的显示:通过傅立叶变换模来显示傅立叶变换图象。由于模的值域大于显示的值域，因此要进行动态值域的压缩D(u,v)=clog(1+

10、F(u,v)

11、)其中：c=255/k;k=max(log(1+

12、F(u,v)

13、))原图傅立叶变换后的图频移后的图细节较少图片的傅立叶变换细节中等图片的傅立叶变换细节较多图片的傅立叶变换7.2.5离散傅立叶变换的性质1.可分离性一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。M-1N-1F(u,v)=1/MN[f(x,y)e(-j2vy/N)]e(-j2ux/M)x=0y=0u=0,1,2,…M-1;v=0,

14、1,2,...N-1M-1N-1f(x,y)=[F(u,v)e(j2vy/N)]e(j2ux/M)u=0v=0x=0,1,2,...N-1;y=0,1,2,...N-1先对行做变换：（0，0）－然后对列进行变换：f(x,y)（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv2.平移性质只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移