傅立叶变换与短时傅立叶变换

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1、傅立叶变换与短时傅立叶变换为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变Gabor变换时频分析小波变换Randon-Wiger 变换分数阶傅立叶变换线调频小波变换循环统计理论和调幅-调频信号分析‥‥‥举例1有一信号主要频率成分是50Hz和300Hz的正弦信号，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，采样频率为1000Hz，通过傅050010001500-15-10-5051015幅值时间原始信号01002003004005

2、0000.511.522.5x105功率谱密度频率信号功率谱密度(a)(b)立叶变换对其频率成分进行分析。从(a)中看不出任何频率的性质，但从(b)中可以明显地看出该信号是由频率为50Hz和300Hz的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信号组成。举例2一个静态信号有如下形式其原始信号和傅立叶变换如下：另一个信号：在0到300ms之间为100Hz的正弦信号，在300到600ms之间为50Hz的信号，在600到800ms之间为25Hz的信号，在800到1000ms之间为10Hz的信号，其原始信号和傅立叶

3、变换如下图：比较两幅图可以看出，两个信号的功率频谱图基本相同。短时傅立叶变换DennisGabor于1946年引入了短时傅立叶变换（Short-timeFourierTransform）。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号分成许多小的时间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为：其中，为一窗口函数，它一般是一光滑的低通函数，只在τ的附近有值，在其余处迅速衰减掉。这样，我们便得到函数在时刻τ附近的频率信息（即：频率为ω的信号成分的相对含量）。随着时间τ的变化，所

4、确定的窗函数在时间轴上移动，对逐渐进行分析。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ和ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望δ和ε都非常小，以便有更好的时频分析效果，但海森堡（Heisenberg）测不准原理（UncertainyPrinciple）指出δ和ε是互相制约的，两者不可能同时都任意小。仅当为高斯函数时，等号成立。这表明，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。图短时傅立叶变换的分析特点由此

5、可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗口函数确定后，矩形窗口的形状就确定了，τ、ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即δ要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（

6、即ε要小）。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。