matlab《数字图像处理》第8章 傅立叶变换

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1、第8章图像傅立叶变换2学习重点二维傅立叶变换的定义二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换matlab实现3学习内容8.1一维傅立叶变换8.2二维傅立叶变换8.3傅立叶变换的性质8.4matlab傅立叶变换的实现8.5傅立叶变换的应用简介4为什么要在频率域研究图像增强可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表达困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理

2、想工具5为什么要在频率域研究图像增强可以在频域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导一旦通过频域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它6法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到了广泛的应用。8.1一维傅立叶变换781）一维连续函数的傅立叶变换（FT）定义：

3、若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件：1）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；3）绝对可积，则下列变换成立：傅立叶正变换：傅立叶反变换：8.1一维傅立叶变换9如果为实函数，傅立叶变换用复数表示：用指数形式表示：傅立叶谱：相角：能量谱：10离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,M-1)的傅立叶变换:F(u)的反变换:计算F(u)：1)在指数项中代入u=0，然后将所有x值相加2)u=1，复对所有x的相加；3)对所有M个u重复此过程，得到完整的FT。2）一维离散傅立叶变换（DFT）11离

4、散傅里叶变换及其反变换总存在。用欧拉公式得每个F(u)由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；u值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域(u值)称为频率域，其中每一项都被称为FT的频率分量。与f(x)的“时间域”和“时间成份”相对应。12傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学棱镜。傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量13傅立叶变换在极坐标下表示:频率谱相位谱功率谱14f(x)是一门函数，如图所示，它表示为：求其傅立叶变换F(u)15解：

5、16对应的傅立叶谱为：17简单函数的傅里叶谱M点离散函数及其傅里叶频谱(M=1024,A=1,K=8)；对应的傅里叶频谱曲线下面积：当x域加倍时，频率谱的高度也加倍；当函数长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量也加倍。188.2二维傅立叶变换1）二维连续函数傅立叶变换（2DFT）定义:若f(x,y)是连续图像函数反变换:正变换:变换对:19幅度谱、相位谱、能量谱一般F(u,v)是复函数,即:幅度谱:相位谱:能量谱:20定义:若f(x,y)是离散图像函数，为M×N维大小（通常M=N），则其傅立叶变换为：

6、正变换:反变换:2)二维离散傅立叶变换211）可分离性：正反变换都具有分离性8.3二维傅立叶变换的性质221）可分离性：正反变换都具有分离性利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT，再在y（或x）方向进行一维DFT232）平移性公式（1）：242）平移性：公式（2）：252）平移性：263）分配律：273）尺度变换（缩放）：285）旋转性则：此式含义是：当原图像旋转某一角度时，FT后的图像也旋转同一角度。29旋转性举例：原图像及其傅立叶幅度

7、谱图像原图像旋转45，其幅度谱图像也旋转45306)周期性和共轭对称性316）周期性和共轭对称性327）平均值337）平均值348）卷积定理*卷积•乘积则：359）相关定理则：*共轭乘积相关36卷积和相关理论总结：卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。37相关性匹配举例延拓图像f(x,y)相关函数图像离散傅立叶变换应用中的问题1)频谱的图像显示谱图像就是把

8、F(u,v)

9、作为亮度显示在屏幕上。由于在傅立叶变换中F(u,v)随u，v衰减太快，直接显示高频项只能看到一两个峰，其余都不清楚。为了符合图

10、像处理中常用图像来显示结果的惯例，通常用D(u,v)来代替，以弥补只显示

11、F(u,v)

12、不够清楚这一缺陷。D(u,v)定义为：39下图给出了一维傅立叶变换原频谱

13、F(u)

14、图形和D(u)图形的差别。原

15、F(u)

16、图形只有中间几个峰可见，图(b)为处理后D(u)的图形。2)频谱的频域移中常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，这和我们正常的习惯不同，因此，需要把这个图像的零点