高二数学《生活中的优化问题举例》

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1、生活中的优化问题举例生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.复习：如何用导数来求函数的最值？一般地，若函数y=f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则求f(x)的最值的步骤是：（1）求y=f(x)在（a，b）内的极值(极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5问题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面

2、是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？r(0，2)2(2，6）6f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p解：∵每个瓶的容积为:∴每瓶饮料的利润：28.8π∴由上表可知，f(2)=-1.07p为利润的最小值f(6)=28.8π为利润的最大值例1、某制造商

3、制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.6(0，2)f(r)0f'(r)(2，6）2r-+减函数↘增函数↗-1.07p28.8π231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再

4、通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有力的工具，其基本思路如以下流程图所示优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数。根据你的生活经验，思考下面两个问题：问题情景二：汽油使用效率何时最高(1)是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大？(2)“汽油的使用效率最高”的含义是什么？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说汽油的使用效率越高（即越省油）。若用G来表示每千米平均的汽油消耗量则如何计算每千米路程的汽油消耗

5、量？（w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程）例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位:L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位:km/h）之间，有如图的函数关系g=f(v)，那么如何根据这个图象中的数据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015(w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程)问题1：可用哪个量来衡量汽油的使用效率？问题2：汽油的使用效率与g、v有什么关系？每千米平均的汽油消耗量例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位:L/h）与汽车行驶的平均速度v

6、（单位:km）之间，有如图的函数关系g=f(v)，那么如何根据这个图象中的数据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量，这里w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程∵w=gt，s=vtP(v，g)的几何意义是什么？如图所示，表示经过原点与曲线上的点P(v，g)的直线的斜率k所以由右图可知，当直线OP为曲线的切线时，即斜率k取最小值时，汽油使用效率最高练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为若要使平均成本最低，则每天应生产多少件产品？解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则∴每天应生产1000件产品变题：已知某厂每天生产

7、x件产品的成本为若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则变题：已知某厂每天生产x件产品的成本为若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？∴函数在(0，1000)上是减函数故每天应生产800件产品基本不等式法：“一正、二定、三相等、四最值”；导数法：一定义域、二导数符号、三