化工应用数学4第四章量纲分析PPT

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1、第四章量纲分析任课老师：程道建副教授E-mail:chengdj@mail.buct.edu.cn§1.单位和量纲单位：度量同一物理量的大小。如长度有m、cm、mm，时间有h、min、s。量纲（因次）：物理量的种类。如长度用[L]，时间[T],质量［M］，无论量的大小都用同一符号表示。量纲分析基本量纲：相互独立的量纲，相互之间不能导出，而其它量的量纲可由基本量导出。一般取长度［L］、时间［T］、质量［M］、温度［Θ］导出量纲：其它物理量的量纲可由基本量纲导出，例如速度量纲［］，面积［］，压强［］单位、量纲、基本量纲

2、、导出量纲举例任何物理量都有量纲，基本量纲用大写字母表示，如下表表1基本量纲每个基本量纲都有一个基本单位，该基本单位与单位制有关。下表为两种主要单位制表2国际单位制和英制单位基本量纲符号基本量纲符号长度物质的量质量电荷时间光照度温度基本量纲国际单位制(SI)英制基本量纲国际单位制(SI)英制长度，米，英尺，温度，摄氏度，或开尔文，华氏度，或兰金温度，质量，千克，磅质量，时间，秒，秒，物质的量，摩尔，摩尔，不同单位制之间有严格的转换方法去年考题：写出任意5个基本单位及量纲为了便于描述物理量，复合单位应运而生，例如和。

3、下表列出了常用前缀表3复合单位的前缀最后一种单位是导出单位。它是基本单位的衍生物并具有特定的名称。如下表表4导出单位与量纲前缀符号乘数(数值)前缀符号乘数(数值)兆微千纳厘皮毫物理量量纲SI单位物理量量纲SI单位体积压力(=力/面积)速度加速度能量动量()力()(牛顿)瓦特单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例去年考题：推导五个导出单位及量纲例子.钟摆的量纲分析下面用量纲分析的方法得到钟摆运动的数学描述(钟摆模型如右图)表5钟摆参数希望利用小钟摆模并由物理参数预测摆动周期。我们假设有下方程的形式的函数(4)或(5)由之

4、前讲到的两条基本规则可知，上面函数的每一项必须为时间量纲。这就意味着式(5)应该和质量无关，因为没有能消除质量量纲的互补项！这样，函数简化为(6)物理量符号量纲物理量符号量纲摆动周期重力加速度钟摆长度摆幅无()钟摆质量如果长度出现在式(6)中，则必须用除以消除长度量纲，即(7)也就是说，如果长度出现在式(6)中，那么必然以的形式出现。这样式(6)变为(8)又(9)且，是无量纲的，因此(10)上式中量纲不能为函数提供任何信息。接下来，我们只需要测定不同和时钟摆的行为了，而不需要去花费时间考虑质量的影响。这说明量纲分析

5、缩短了实验的进程。而且，对实验数据的分析时，我们有理由相信可在固定摆幅的情况下将对作图，这说明量纲分析简化了数据分析过程。通过实验测定发现，当摆幅较小时(),周期与摆幅无关，也就是说和之间为线性关系，斜率为。因此，任何摆钟运动由以下简单的函数形式(11)§2.量纲分析法量纲分析法是将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量。利用定理使无量纲综合量构成函数关系，该关系式反映了物理量之间的内在规律，并使自变量的个数减到最少。无量纲综合量：由n个物理量组合成的无量纲数称之。用表示。例如：表示无量纲综合量，解出有理数m可得项

6、。白金汉定理：设某个物理现象与n个物理量有关q1,q2,,qn，这n个物理量的函数关系为F(q1,q2,,qn)=0。若这n个物理量的基本量纲为m个，则这n个物理量可组成（n-m）个无量纲数1,2,,n-m，这些无量纲数也存在函数关系F(1,2,,n-m)=0。去年考题：无因次数群推导（2题，25分）例子.步行的量纲分析由于人的构造是相似的，因此应当可以根据一些物理参数用量纲分析的方法预测人的速度。通过分析，下标列出一些可能与人的步行速度相关的物理量表6步行参数现在用量纲分析来指导步行数据的测

7、量和分析。先回想一下钟摆的分析思路：以上的分析过程简单直观，但是只是针对此类简单问题。下面介绍一种通用方法——无量纲分析法。把式(11)写成(12)上式就是一个无量纲的式子。参数符号量纲参数符号量纲速度重力腿长步长质量量纲分析实验测定/数据分析一个无量纲的项称为数群。现在要寻找一个能够描述步行的数群。如下(13)式中是待定参数。式(13)的量纲表达式为(14)由于必须是无量纲的，所以有(15)从上式可知，质量对步行过程无贡献()。上式剩2个方程4个未知数，有无穷的组合能满足方程。因此必须指定一些情况。引入白金汉定律

8、：(16)因此，在此例中。为了确定这2个无因次数群，还需以下规则无因次数群数目()=参数个数-量纲数目(方程数目)对于每个数群，必须选择一个“核心变量”核心变量是指出现在一个数群中的参数。它是一个无因次数群的核心。我们的目的是:寻找一个用无因次数群表示的函数形式。如(17)现在，和这两个数群。这两个数群分别以速度和步长为核心变量。:该无因次数群包含而不包含。