直线与椭圆的位置关系专题

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1、直线与椭圆的位置关系专题一、直线与椭圆相交的求值问题：1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，，，，．椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，，即，，，．58解得：，，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，

2、直线过定点．所以，直线过定点，定点坐标为．2．如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴时，恰好

3、AF1

4、:

5、AF2=3:1（I）求该椭圆的离心率；（II）设，，试判断l1+l2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．xyABCOF1F2解：（I）当C垂直于x轴时，，由，得，在Rt△中，解得=．（II）由=，则，．焦点坐标为，则椭圆方程为，化简有．设，，①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程有．由韦达定理得：，∴58所以，同理可得故l1

6、+l2=．②若直线轴，，，∴l1+l2＝6．综上所述：l1+l2是定值6．3．(2008，安徽卷，22)设椭圆过点，且着焦点为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.解：(1)由题意：，解得，所求椭圆方程为(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为．由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是，，从而，（1），（2）又点A、B在椭圆C上，即（1）+（2）×2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二58设点，由题设，

7、均不为零．且又四点共线，可设,于是（1）（2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得（3）(4)(4)－(3)　　　得即点总在定直线上．4．如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．（1）证明：，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于，两点，证明．解：（Ⅰ）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF　故，即　故，在Rt△OFA中　直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.58直线B

8、F与轴的交点为(Ⅱ)由（Ⅰ），得直线BF得方程为且设、，由　得由　得⑤注意到，得．5．有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为58”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积．解：（1）设M．∵点M在MA上∴①同理可得②由①②知AB的方程为易知右焦点F（）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）……8分（2）把AB的方程∴又M到AB的距离∴△ABM的面积6．已知

9、点A(－1，0)、B(1，0)和动点M满足：，且，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．(1)求曲线C的方程；(2)求△APQ面积的最大值．19．(1)解：设M(x，y)，在△MAB中，

10、AB

11、=2，∴即因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1∴曲线C的方程为．(2)解法一：设直线PQ方程为(∈R)由得：．显然，方程①的，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有58．令，则t≥3，．由于函数在[3，＋∞)上是增函数，∴故，即S≤3∴△APQ的最大值为3．解法二：设P(x

12、1，y1)，Q(x2，y2)，则当直线PQ的斜率不存在时，易知S=3设直线PQ方程为由得：①显然，方程①的△＞0，则∴　　　　令，则，即S＜3∴△APQ的最大值为3．7．设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率；(2)设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程．解:⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为，即，所以，所以椭圆的离心率为．⑵由⑴知，可得

13、，又，所以过三点的圆的圆心坐标为，半径，因为过三点的圆恰好与直线相切，58所以圆心到直线的距离等于半径，即，得，…………14分所以，所以椭圆的方程为．8．已知椭圆：＋＝1（）的左．右焦点为，离心率为.直线与轴．轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设＝．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）确定的值，使得是等腰三角形．解：（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.所以点M的坐标是（）.由即证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交