合肥工业大学高数习题册上册答案

《合肥工业大学高数习题册上册答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、习题函数1．设函数，求（1），，；（2），（）．【解】（1）；（2）。■2．已知，求．【解】令，则，故。■3．证明：在内是严格递增函数．【证】方法1（定义法）∵对任意，有，其中用到，∴在内是严格递增函数。方法2（导数法）∵∴。■4．设在上是奇函数，证明：若在上递增，则在上也递增．【证】∵对任意，有，∴由在上单调增加可得：。又∵在上是奇函数，即，∴，即，故在上也是单调增加。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题极限1．求下列极限：；【解】分之分母同除，利用四则运算极限法则和幂极限可得。■；【解】∵，∴。■；【解】∵，∴。■；

2、【解】∵，∴。■．【解】。■2．求常数和，使得．【解】∵，，∴，即。于是，，∴。■3．若，求，，．【解】∵，，∴，。从而，，，故不存在。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题无穷小与无穷大1．利用等价无穷小的代换求下列极限：；【解】。■；【解】。■．【解】。■2．设确定正数的值，使得存在．【解】∵，，∴当，即时，存在。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题极限存在准则1．计算下列极限：；【解】。■；【解】。■；【解】。■．【解】。■2．设，试证数列的极限存在，并求此

3、数列极限．【证】（1）证明极限的存在性·单调性：∵，∴。∵，∴由数学归纳法可知：，即，故为单调减少数列。·有界性：只需证明有下界。显然，。或者由数学归纳法∵，，，，∴有下界。于是，由单调有界收敛准则知：存在极限。（2）求极限：设，则由求极限可得，即，解得：。注意到，故。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题连续函数及其性质1．求函数的间断点，并说明其类型．【解】显然，当时，函数无定义，故均为间断点。∵，∴，即为第二类间断点，且为无穷间断点。∵，，∴，即为第一类间断点，且为跳跃间断点。■注：*极限四则运算法则，**的连续性。

4、2．设，试求函数的表达式，若有间断点，并说明其类型．【解】∵∴即由图形易知：为第一类间断点，且为跳跃间断点。■3．设要使在内连续，确定常数．【解】显然，函数在内为初等函数，故连续。只需讨论分界点处函数的连续性。∵，（无穷小与有界函数积），∴当时，在内连续。■4．讨论的连续性．【解】显然，只需讨论分界点处函数的连续性。∵，，∴，即在内连续。■5．求下列极限：为常数）；【解】方法1由等价无穷小可得：。方法2由重要极限与连续性可得：。■；【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：。■为常数）．【解】显然，当时，。当时，。■6．设函数在上连续，且，证明在上至少存在一点，使得．【解】作辅

5、助函数，则∵在上连续，且，∴。∵，，∴①当时，可取，满足；②当时，，由零点定理可知：存在，使得，即。综合可得：存在，使得，即。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题导数的概念1．求曲线在点处的切线方程与法线方程．【解】∵，∴。从而，所求切线方程为，法线方程为。■2．若函数可导，求．【解】。■3．讨论函数在点处的连续性与可导性．【解】（1）连续性：∵，∴在点处的连续性。（2）可导性：∵，，∴在点处不可导。注：也可从可导性入手。左右可导函数必连续，但未必可导。■―――――――――――――――――――――――――――――――――

6、――――――――――――习题求导的运算法则1．求下列函数的导数：；【解】。■；【解】。■；【解】。■；【解】∵，∴。■；【解】∵，∴。■；【解】由复合函数求导法则可得：。■；【解】由四则运算求导法则与复合函数求导法则可得：。■．【解】由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得：。注意：也可先分母有理化，再求导。■2．设可导，求函数的导数。【解】。■3．设满足，求．【解】∵，……①∴换为可得：。……②由①②解得：。于是，。■4．已知，求．【解】，，。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题高阶导数1．设，求．【解】∵，，∴。■2

7、．设，其中是二阶可导函数，试求．【解】∵，∴。■3．设，求．【解】隐函数求导法。对求导，视为的函数：，……①再对求导，视，均为的函数：……②∵在原方程中代入可得：，由①可得：，再由②可得：。■4．求下列函数的阶导数：为常数）；【解】∵，∴。■；【解】∵，而，∴。■．【解】∵，，，……，∴。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题隐函数与参变量函数的求导方法1．求下列函数的导数：；【解】对求导，视为的函数：，解得：。注：*利用