10.三阶幻方的简单应用

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1、5、三阶幻方的简单应用幻方的应用主要是根据幻方的特征把残缺的幻方填写完整，或者对幻方进行适当变换。幻方的三个主要特征有：（1）幻和÷阶数＝中心数；（2）幻方具有对称性；（3）幻方具有轮换性。例1、下图A是一个三阶幻方，已经填好了6、15、28三个数，根据幻方的性质把幻方填写完整。【分析与解答】根据幻和的计算公式，可知每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都是中心数的3倍，因此这个幻方的幻和是：15×3＝45。这样就可以得第一列第三行是45－28－6＝11；第二行第三列是45－28－15＝2；第三行第三列是45－6－1

2、5＝24（图B）。第三行第二列是45－11－24＝10；第三列第一行是45－24－2＝19（图C）。最后填写第一行第二列：45－6－19＝20或者45－10－15＝20（图D）。这是我们根据幻和的计算公式填写幻方的一个例子，这个例题的特点是已知三个数，且中心数是已知。如果已知两个数与幻和，或者只有幻方中的两个数，求指定格子里的数是多少，又该怎么办呢？例2、下图A是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都是2037，已经填好了447和894两个数，图中m是多少？【分析与解答】由幻和是2037，可以求出中心

3、数是2037÷3＝679（图B），第二列第一行是2037―679―894＝464（图C），第一行第三列的m＝2037―447―464＝1126（图D）。例3、下图（甲）是一个三阶幻方，它的每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等，图中K是多少？【分析与解答】为了叙述方便，我们把中心数假设成A，第一行第三列假设成B。（见图乙）根据幻和的特点，因为A＋13＝K＋B，所以A＝K＋B－13；又因为A＋K＝B＋19，所以A＝B＋19－K；因此，K＋B－13＝B＋19－K（等式两边同减去B，再加上K，最后再加上13）2K＝1

4、9＋13K＝16由于题目只要求K的值，其它空格就不必再填了。例4、为了下图A中的每一行、每一列、每条对角线上三个数的乘积都相等，空格中应该填上哪些数？【分析与解答】从图A中可以看出，每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12＝216。第一列第一行是：216÷12÷1＝18；第二列第三行是：216÷1÷6＝36（图B）；第一列第二行是：216÷18÷3＝4；第三列第三行是：216÷18÷6＝2（图C）；第二列第二行是：216÷4÷6＝9（图D）；请注意观察，图D中所填的这些数都是哪个数的因数（约数）？这个结论后面

5、的练习用得上。在幻方（一）中，我们初步了解了在已经编排好的三阶幻方中，都可以对它的数字进行适当的旋转与对调，从而得到其它七个图形。究竟如何进行旋转与对调呢？例5、根据下图A的三阶幻方，再写出其他七个三阶幻方。【分析与解答】（一）旋转：把图A顺时针旋转900，然后把图中的数字按水平视觉的角度重新写出来，就得到图B；用同样的办法旋转图B就可以得到图C，旋转图C就可以得到图D。（二）对称：将图A中的一条对角线（比如2、5、8）为对称轴，把对称轴两边的六个数分别进行对称交换，就可以得到图E；用同样的办法图B经过对称交换可以得

6、到图F；图C经过对称交换可以得到图G；图D经过对称交换可以得到图H。例6、把4～12这九个数填入下图方格中，使每一行、每一列及两条对角线上的三个数中，两端之和减去中间的数所得到的差都相等（九宫差阵）。【分析与解答】其实上九宫差阵可以由前面学过的三阶幻方（九宫和阵）得到，请注意观察：（1）用“罗伯法”编排三阶幻方，（2）第二列上、下数对调，（3）第二行左、右互换。也可以先编排好三阶幻方，然后把四个角上的数进行对角互换（图甲图乙）。