趣谈三阶幻方.doc

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1、趣谈三阶幻方王凯成(陕西省小学教师培训中心710600)一、什么是三阶幻方把9个自然数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的和都相等,这样的方阵就叫做三阶幻方。相等的和叫做幻和。传说古代夏禹治水时，洛水出了个神龟，背上刻有文字，大禹就照此写出了《洪范.九筹》(治国的九种大法)。实际上，神龟背上刻的文字，就是三阶幻方，也叫九宫图。492357816我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”,有诗赞美九宫:四海三山八洞仙，九龙五子一枝莲。二七六郎赏月半，周围十五月团圆。根据数学史家考证，这个三阶幻方最早见于公元前500年左右春秋时期的

2、《大戴礼记》中。汉朝徐岳把它叫做“九宫算”，后人的注解是：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中。”宋代数学家杨辉把九宫算叫做“纵横图”。公元15世纪，住在拜占庭君士坦丁堡的摩索普拉斯把我国的“纵横图”介绍到欧洲，并取名为“幻方”。古印度有许多少女在胸前佩戴一个三阶幻方，当做“护身符”，认为这样可以“避邪”。也有人把它贴在门板上，“驱邪避灾”(中世纪的欧洲也有这种习惯)。金庸大侠还把三阶幻方写进他的的小说《射雕英雄传》中：一天,黄蓉被裘千仞的铁掌所伤，几乎致命。郭靖带着她去找“神算子”瑛姑求医。两人在一片泥沼中七弯八拐，闯过重重

3、机关终于来到了神算子的门前。只见屋里一白发女子正凝神细算一道题，黄蓉暗点算子数目，报出了得数。那女子惊诧之余，拿出自己深思多日的一些题目，黄蓉均一一破解。那女子呆了半晌问道：“你是人吗？”接着白发女子又甩出一招：“将一至九这九个数字排成三行三列，不论纵横斜角，每三数相加都是十五，如何排法？”病黄蓉低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。闻听此言，那女子面如死灰。正是在这段有名的“九宫阵”里，金庸先生将黄蓉的聪敏机智刻画得淋漓尽致。二、数学教材中的三阶幻方人教版和北师大版小

4、学数学教材及人教版初中数学教材有三阶幻方的内容，这是对数学文化的传承与发扬。这是人教版课标教材小学数学一年级上册第120页第10题。这是一个三阶幻方。这是人教版课标教材小学数学二年级上册第30页第9题。这是一个三阶幻方。这是北师大版小学数学教材二年级上册第9页的思考题。这是一个三阶幻方问题。这是人教版课标教材小学数学一年级下册第77页思考题。这是一个三阶幻方问题。这是人教版初中数学教材七年级上册第21页的内容。三、如何制作三阶幻方如何制作三阶幻方？宋代数学家和数学教育家杨辉提出制作三阶幻方的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”例1用1

5、、2、3、4、5、6、7、8、9制作一个三阶幻方。根据“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”制作。942753861142753869492357816942357861((九子斜排)(上下对易)(左右相更)(四维挺出)但是,“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”有很大的局限性(可以推出：当“最小数”×2+“中位数”<“第二小数”×3时,“杨辉方法”制作三阶幻方失效)，对用1、4、6、7、9、11、12、14、17制作一个三阶幻方就不适用，这里给出能引发学生思考的“制作三阶幻方的通法”(见文[1])。例2用1、4、6、7、9、11、12、1

6、4、17制作一个三阶幻方。1.求幻和：(1+4+6+7+9+11+12+14+17)÷3=27。2.拆幻和：27=17+1+9=17+4+6=14+1+12=14+4+9=14+6+7=12+4+11=12+6+9=11+7+9。3.统计：所给数1467911121417出现次数2332423324.填幻方：首先确定最中间数(统计中出现4次的数)，其次确定四角数(统计中出现3次的数)，最后填出三阶幻方。417611971211494691214(确定中间数)(确定四角数)(三阶幻方)实际上，根据数的大小位置，也能快速制作出三阶幻方:三阶幻方九宫数，

7、一行中间最小数，二行中央中位数，三行最右二小数(第二小的数称为“二小数”)，幻和中位三倍数(幻和是中位数的3倍)，由此推出空格数(这是笔者2013年找到的制作三阶幻方新的通用方法，原理见文[2])。例3用1、4、6、7、9、11、12、14、17制作一个三阶幻方。对1、4、6、7、9、11、12、14、17来说，9是中位数，1是最小数，4是二小数。所以，1在第一行第二列，9在第二行第二列，4在第三行第三列，由幻和是9×3=27可知，第一行第一列填9×2－4=14，第一行第三列填27－14－1=12，第三行第一列填9×2－12=6，第三行第二列填9×

8、2－1=17，第二行第一列填27－14－6=7，第二行第三列填27－12－4=11。三阶幻方制作完成。1941411279