15.5.2三棱锥的体积

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1、15.5几何体的体积(2)锥体的体积一、教学内容分析锥体的体积是学习祖暅原理与柱体体积之后，对几何体体积的进一步探索.其中三棱锥体积在这之中又尤为重要，起着承上启下的作用.推导三棱锥的体积要用到前一课时的内容；同时，n棱锥乃至圆锥的体积公式又是建立在三棱锥体积之上的.所以处理好三棱锥的体积问题，是这堂课的重中之重.二、教学目标设计学生通过具体实验感知三棱锥体积公式，通过严谨证明确认三棱锥体积公式，通过对新知识的应用推广得到n棱锥的体积公式，通过具体实例初步应用锥体体积公式.能应用割补法求体积，在这个过程中，提高分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力.三、教学重点及难点三棱锥体积公式及其探求.四、

2、教学流程设计复习已学知识做好上课准备通过实验发现规律提出质疑严谨证明继续推广特殊到一般简单应用巩固公式课堂小结布置作业五、教学过程设计一、情景引入1、复习祖暅原理：体积可看成是有面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等.2、柱体体积公式：V棱柱=Sh3、问题：锥体的体积公式是什么？会不会和柱体的体积有什么联系？实验：如图取一个三棱锥教具（无底面ABC），一个与之同底等高的三棱柱教具（无底面ABC）（教具可用硬板纸制作），以及黄沙若干.BCAOBCAOPQ1用三棱锥盛满黄沙，倒入三棱柱容器中，发现倒三次正好把三棱柱容器填满.从这个

3、实验中，学生猜想三棱锥的体积公式为V三棱锥=Sh这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是一个必然的结果？二、学习新课问题1：从猜想的三棱锥体积公式为V三棱锥=Sh看，体积只和三棱锥底面积和高有关，而与底面三角形的形状无关.那么，上述实验中的三棱柱不变，三棱锥变成与原三棱锥O-ABC等底等高的三棱锥P-DEF，结果是否会不变呢？解决此问题，即要证明等底等高的三棱锥的体积相等.已知三棱锥O-ABC和P-DEF的底面积都是S，高都是h.求证：三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等.证明：把两个三棱锥的底面都放在平面上，任意作平面，设平面截三棱锥O-ABC所得的截线为三角形A’B’C’，其面积为S1；平

4、面截三棱锥P-DEF所得的截线为三角形D’E’F’，其面积为S2.如果三棱锥的顶点O和P与平面的距离为h1，那么推得：和，于是得，相似比是，同理可得，相似比也是.由相似形的性质得，.即.因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时，所得的截面面积相等，所以由祖暅原理得三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等，即等底等高的三棱锥的体积相等.问题2：为什么三棱锥的体积公式恰巧为V三棱锥=Sh，而不是？观察实验中的三棱锥O-ABC，正好含在三棱柱OPQ-ABC中，于是我们通过连接OB，OC把三棱柱OPQ-ABC中的三棱锥O-ABC找出来，发现三棱柱OPQ-ABC是由三棱锥O-ABC和四棱锥O-BCQP组成的

5、.进一步的，连接BQ，那么此时比较明显的有：VOPQ-ABC=VO-ABC+VB-OPQ+VO-BCQ由于等底等高的三棱锥的体积相等，故有：VO-ABC=VB-OPQ=VO-BPQ=VO-BCQBCAOBCAOPQ1因此，V三棱锥=Sh请学生叙述如果连接PC，怎样证明？平面几何中求面积时，我们经常会用到割补法.同样的，立体几何求体积也会用到此法.上述的证明方法，本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后，再加以证明，是求体积的“补”法.PABCD推广1：四棱锥的体积公式呢？如果也采用三棱锥探求体积的方法，是否可行？三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.

6、这是其它任何棱锥所不具备的特征.那么，我们已经知道，并且证明了三棱锥的体积，四棱锥中有没有三棱锥呢？通过连接AC，可得:VP-ABCD=VP-ABC+VP-ACD=(SΔABC+SΔACD)h=SABCDh其中h是P到底面ABCD的距离，即四棱锥的高.推广2：n棱锥的体积公式呢？基本上可由学生自行完成.课本P39也讲述的非常清楚.总结：V棱锥=Sh三、巩固应用求棱长都为a的正四棱锥的体积；ABDC在棱长为a的正方体中，求三棱锥的体积；求三棱锥的体积；解:(1)由正方体棱长为a，得SΔABC=a，高h=a.所以VB′-ABC=SΔABC·h=·a·a=a.（2）=四、课堂小结1、割补法求体积2、

7、V棱锥=Sh3、体积法求点到面的距离五、作业布置课本P41练习15.5(2)六、教学反思数学是源于生活的.选用实际的实验操作能使学生对V棱锥=Sh有一个形象的、具体化的认识.数学是严谨的.发现规律之后，需要的是严格的证明，证明的两个层次，老师要加以把关.证明过程中又使用了很多已学的立体几何知识，是一个很好的回顾与应用的过程；学生的空间想象能力也能在证明的过程中得以提高.在实际教学过程中，第一个难点