第二章条件极值问题的变分法(16K)

《第二章条件极值问题的变分法(16K)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第二章条件极值问题的变分法§2.1函数的条件极值问题，拉格朗日乘子这里让我们概要的说明在给定的约束条件卜•，函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。对于一个函数，如F(x,y),其绝对■极小值是根据下而条件求得，dFdxdF=Fv(x,y)=O=Fy(x,y)=0(2-1)解(2-1)式,可以求出相应的解州，),将州与％代入函数F(x9y)则可获得函数的绝对极小(极大)值。如果我们给定一约束条件(p(x,y)，则表示F(x,y)在给定的约束条件(p(x?y)的情形下,求F(x,y)的极值。显然,这种带有约束条件下求极值

2、，相当于把所求范围缩小了，如果存在有极值的话，那么，这个极值不是绝对极小(或极人)值，而是相对值，它总人于(或等于)无条件时的极小值，或总小于(或等于)无条件时的极人值。対这类条件极值问题，-•般多利用所谓的拉格朗口乘子法。拉格朗口乘子法可以如此理解，F(x,y)的极值条件可以写成dFdFdF=——dxHdy=Odxdy约束条件可以写成0>(x,^)=0因此(2-2)式屮的ck,dy不是独立的，而是由(2-3)式的微分关系式dx+dy=0dxdy连系着的。假定沁/dyHO,解(2-4)式，得d①drdy而(2-2)式可化为dFdFdydFdF,d=訝不

3、K%不厂西g于是把(2-6)式为(2-3)式连在一起，是求解极值点州，)〉的两个方程式。如果用拉格朗H乘子法，可构造以下函数，如(2-2)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)F*(兀,儿九)=F(x,y)+九①(x,y)(2-7)式屮九称为拉格朗日乘子。尸(兀,y,心的极值条件为dFd①3Fd①d尸二(罕+九器)dx+(?+九罟i)dy+①(兀,y)dX二0oxdxdydy这里把dx,dy,d九都看作是独立的任意变量，于是从(2-8)式可得到(2-8)匹+九空dxdx迥+膵dydy0,①(兀,y)=0(2-9)消去九,得(2-10)(2-11)(2

4、-12)(2-13)(2-14)(2-15)(2-16)"d①工^~^电=0(心1,2,…,R)(2-17)①(兀,y)=0OFdFaxdxdy。①9y这与(2-3)式和(2-6)式完全相同，所以用拉格朗Fl乘子法与上而介绍的方法是等价的。现在让我们在约束条件叭(“2,…，£)=0下求函数尸(坷，兀2,，兀“)的极值，其■ia

5、+工①皿；=1OXj；=1OXjr=l由于勺•，人都是独立变量，于是由dF*=O,得$+!>，孚=°U=h2,•••,«)dr』,=idxj①心，兀2,…心)=o(i=l,2,…，灯这是求解n+k个变量的n+k个方程。(2-15)式还可以通过以下方法求得。(2-12)式的变分极值要求dF=Y—dr.=0因为有(2-11)式的R个约束条件，所以这些厂中只有个是独立的。从(2-11)式的R个约束条件可以求得下列微分条件(2-18)(2-19)(2-20)(2-21)将(2・17)式乘以人，与(2-16)式相加，得Jr，亡)V"1°①j」rdF右)_J肯Jd

6、xj务dxj铝dx}这里的人(,=1,2,…丛)是任选的，如果我们选择R个待定的人,使下面R个条件BF右)。①/A/.1c1三一+Z人—=°(丿=1,2,…灯^Xj/=!^Xj满足，则(2・18)式就可以写成£［薯+以等曲“戶R+lOXj1=1OXj这里dx,./•二k+l*+2,・・・‘)是作为独立量出现的，于是工+£九学=°(j二屮k+2,…，心d兀j匸1dxj将(2・19)、(2-21)及(2・11)式合在一起，即可得到(2-15)式的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗H乘子法。泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。【定理】泛

7、函口二［卡匕儿小,…，儿；儿必,…,冗皿(2-22)在约束条件(2-23)(2-24)也（X」，儿,…，儿）=0（i=l,2,…,VM）下的变分极值问题所确定的函数丁］*2，＞‘3,…，儿（兀）'必满足由泛函IT=+血二pF^dx的变分极值问题所确泄的欧拉方程(2-25)3尸d^FAz.in、—（^-—）=0（J=1,2,…屮）。儿dxd儿其屮人⑴o=i,2,•••,/：）为/:个拉格朗日乘子。我们把旳和人（对都看作是泛函rr的变量，所以卩=o同样也可以看作是泛函rr的欧拉方程。（2-25）式也可以写成丫+乞心）讐-¥（等）=0（八1,2,…/）d儿

8、/=1dy}dx0儿现在让我们证明这个定理。首先求泛函（2-22）式的变分，它经过分部积分（用