2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略八大专题 专题三 第1讲(01)

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1、第1讲　等差数列、等比数列【高考考情解读】　高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．1．an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝2．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an－an－1＝常数(n≥2)＝常数(n≥2)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1q

2、n－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(5){an}为等比数列，an>0⇔{logaan}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0且a

3、≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(2)an＝amqn－m(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列前n项和Sn＝＝na1＋d(1)q≠1，Sn＝＝(2)q＝1，Sn＝na1考点一　与等差数列有关的问题例1　在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和．(1)若a1>0，当Sn取得最大值时，求n的值；(2)若a

4、1＝－46，记bn＝，求bn的最小值．解　(1)设{an}的公差为d，则由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－a1.∴Sn＝na1＋×＝－a1n2＋a1n＝－a1(n－12)2＋a1.∵a1>0，∴当n＝12时，Sn取得最大值．(2)由(1)及a1＝－46，得d＝－×(－46)＝4，∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n.∴bn＝＝＝2n＋－52≥2－52＝－32，当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立．故bn的最小值为－32.(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根

5、据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．(2)等差数列的性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列；③am－an＝(m－n)d⇔d＝(m，n∈N*)；④＝(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和)．(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A2＋B2≠0)．(1)(2012·浙江)设Sn

6、是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)A．3B．4C．5D．6答案　(1)C　(2)C解析　(1)利用函数思想，通过讨论Sn＝n2＋n的单调性判断．设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－

7、1)d＝n2＋n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．(2)am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.考点二　与等比数列有关的问题例2　(1)(2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝

8、2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)A．7B．5C．－5D．－7(2)(2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}