2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略八大专题 专题八 第1讲(01)

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1、【高考考情解读】　数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用．数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考．第1讲　函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，

2、建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三

3、角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.类型一　函数与方程思想在数列中的应用例1　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实

4、数k的最小值．解　(1)因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)因为Sn＝n(n＋1)，bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝，令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝，所以实数k

5、的最小值为.(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144.(1)求数列{an}的通项an；(2)设数列{bn}的通项bn＝，记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值．解　(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144，∴S10＝145，∴S10＝，∴a10＝28，∴公差d＝3.∴an＝3n－2(n∈

6、N*)．(2)由(1)知bn＝＝＝，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝，∴Sn＝.∵Sn＋1－Sn＝－＝>0，∴数列{Sn}是递增数列．当n≥3时，(Sn)min＝S3＝，依题意，得m≤，∴m的最大值为.类型二　函数与方程思想在方程问题中的应用例2　如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围．解　方法一　设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])．显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝(sinx＋)2－，且由x∈(0，]知sinx∈(0,1]．易求得f(x)的值域为(－1,1]．故

7、a的取值范围是(－1,1]．方法二　令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0,1]．将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解．设f(t)＝t2＋t－1－a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于，即，∴－1