2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略八大专题 专题七 第1讲(01)

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1、第1讲　坐标系与参数方程【高考考情解读】　高考主要考查极坐标和直角坐标的互化、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．1．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.2．圆的极坐标方程若

2、圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ.3．常见曲线的参数方程(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)．(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．(3)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．(4)抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)．(5)过定点P(x0，y0)的倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)

3、．4．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则，.考点一　极坐标与直角坐标的互化例1　在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．解　∵ρcos(θ＋)＝ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝3，∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρco

4、sθ.∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.解方程组，得或，所以A(2，－4)，B(18,12)，所以

5、AB

6、＝＝16.即线段AB的长为16.(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．(1)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．(2)(2012·湖南)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝__

7、______.答案　(1)(，)(填(－，)亦可)　(2)解析　(1)ρ＝2sinθ代入ρcosθ＝－1可得2sinθcosθ＝－1，即2θ＝或2θ＝，解得或又(，)与(－，)为同一点，故二者可以任填一个．(2)将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.考点二　参数方程与普通方程的互化例2　(1)(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2

8、－x＝0的参数方程为______________．答案　(0≤θ<π)解析　由题意得圆的标准方程为2＋y2＝2，设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，则OP＝OQcosθ＝cosθ.∴(0≤θ<π)．(2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．解　由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0.因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.因此点P到直线l的距离是d＝＝.所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.

9、(1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．(1)(2013·广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．答案　ρcosθ＋ρsinθ－2＝0解析　由(t为参数)，得曲线C的普通方程为x2＋y2＝2.则在点(1,1)处的切线l

10、的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.又x