离散数学屈婉玲第2章

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1、主要内容等值式与基本的等值式等值演算与置换规则析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式联结词完备集可满足性问题与消解法第二章命题逻辑等值演算12.1等值式定义2.1若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记作AB，并称AB是等值式几点说明：定义中，A,B,均为元语言符号A或B中可能有哑元出现.例如(pq)((pq)(rr))r为左边公式的哑元.用真值表可检查两个公式是否等值请验证：p(qr)(pq)rp(qr)不与(pq)r等值2等值式例题例1判断下列各组公式是否等值:(1)p(qr)与(pq)r1111110111111101110111010

2、00001010011100101110111(pq)rp(qr)qrpqrpq00000011结论:p(qr)(pq)r3等值式例题(2)p(qr)与(pq)r010111011111110111011101000001010011100101110111(pq)rp(qr)qrpqrpq11110011结论:p(qr)与(pq)r不等值4基本等值式双重否定律AA幂等律AAA,AAA交换律ABBA,ABBA结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)分配律A(BC)(AB)(AC)

3、,A(BC)(AB)(AC)德摩根律(AB)AB(AB)AB吸收律A(AB)A,A(AB)A5基本等值式零律A11,A00同一律A0A.A1A排中律AA1矛盾律AA0蕴涵等值式ABAB等价等值式AB(AB)(BA)假言易位ABBA等价否定等值式ABAB归谬论(AB)(AB)A特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础6等值演算与置换规则1.等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程2.等值演算的基础：(1)等值关系的性质：自反性、对称性、传递性(2)基本

4、的等值式(3)置换规则（见3）3.置换规则设(A)是含公式A的命题公式，(B)是用公式B置换(A)中所有的A后得到的命题公式若BA，则(B)(A)7等值演算的应用举例证明两个公式等值例2证明p(qr)(pq)r证p(qr)p(qr)（蕴涵等值式，置换规则）(pq)r（结合律，置换规则）(pq)r（德摩根律，置换规则）(pq)r（蕴涵等值式，置换规则）今后在注明中省去置换规则注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值8证明两个公式不等值例3证明p(qr)与(pq)r不等值证方法一真值表法,见例1(2)方法二观察法.观察到000

5、,010是左边的成真赋值，是右边的成假赋值方法三先用等值演算化简公式，然后再观察p(qr)pqr(pq)r(pq)r(pq)r更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真赋值和右边的成假赋值等值演算的应用举例9判断公式类型:A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1例4用等值演算法判断下列公式的类型(1)q(pq)(2)(pq)(qp)(3)((pq)(pq))r)等值演算的应用举例解(1)q(pq)q(pq)（蕴涵等值式）q(pq)（德摩根律）p(qq)（交换律，结合律）p0（矛盾律）0（零

6、律）矛盾式10判断公式类型(2)(pq)(qp)(pq)(qp)（蕴涵等值式）(pq)(pq)（交换律）1重言式(3)((pq)(pq))r)(p(qq))r（分配律）p1r（排中律）pr（同一律）可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.112.2析取范式与合取范式基本概念(1)文字——命题变项及其否定的总称(2)简单析取式——有限个文字构成的析取式p,q,pq,pqr,…(3)简单合取式——有限个文字构成的合取式p,q,pq,pqr,…(4)析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式

7、p,pq,pq,(pq)(pqr)(qr)(5)合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式p,pq,pq,(pqp(pqr)(6)范式——析取范式与合取范式的总称12范式概念说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式形如pqr,pqr的公式既是析取范式，又是合取范式13范式的性质定理2.1(1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含