离散数学(屈婉玲)答案

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时间:2018-09-18

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1、第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。(1)p∨(q∧r)0∨(0∧1)0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s)(0↔1)∧(1∨1)0∧10.(3)(p∧q∧r)↔(p∧q∧﹁r)(1∧1∧1)↔(0∧0∧0)0(4)(r∧s)→(p∧q)(0∧1)→(1∧0)0→0117.判断下面一段论述是否为真:“是无理数。并且,如果3是无理数,则也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。”答:p:是无理数1q:3是无理数0r:是无理数1s: 6能被2整除1t:6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t

2、→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q)→(q→p)(5)(p∧r)(p∧q)(6)((p→q)∧(q→r))→(p→r)答:(4)pqp→qqpq→p(p→q)→(q→p)0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式//最后一列全为1(5)公式类型为可满足式(方法如上例)//最后一列至少有一个1(6)公式类型为永真式(方法如上例)//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.30(1)(p∧q→q

3、)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1所以公式类型为永真式(3)Pqrp∨qp∧r(p∨q)→(p∧r)000001001001010100011100100100101111110100111111所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)(4)

4、(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1(p∨q)∧(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(p→q)→(q∨p)(2)(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(p→q)→(qp)30(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)∑(0,2,3)主合取范式:(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(p(qp))(q(qp))1(p

5、q)(pq)M1∏(1)(2)主合取范式为:(p→q)qr(pq)qr(pq)qr0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为:(p(qr))→(pqr)(p(qr))→(pqr)(p(qr))(pqr)(p(pqr))((qr))(pqr))111所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)30第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:pq,(qr),r结论:p(4)前提:qp,qs,st,tr结论:

6、pq证明:(2)①(qr)前提引入②qr①置换③qr②蕴含等值式④r前提引入⑤q③④拒取式⑥pq前提引入⑦¬p⑤⑥拒取式证明(4):①tr前提引入②t①化简律③qs前提引入④st前提引入⑤qt③④等价三段论⑥(qt)(tq) ⑤置换⑦(qt)⑥化简⑧q②⑥假言推理⑨qp前提引入⑩p⑧⑨假言推理(11)pq⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:30(1)前提:p(qr),sp,q结论:sr证明①s附加前提引入②sp前提引入③p①②假言推理④p(qr)前提引入⑤qr③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬

7、法证明下面各推理:(1)前提:pq,rq,rs结论:p证明:①p结论的否定引入②p﹁q前提引入③﹁q①②假言推理④¬rq前提引入⑤¬r④化简律⑥r¬s前提引入⑦r⑥化简律⑧r﹁r⑤⑦合取由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1)对于任意x,均有2=(x+)(x).(2)存在x,使得x+5=9.30其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解:F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中

8、都解释为,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。(2)在两个个体域中都解释为,在(a)(b)中均为真命题。4.在一阶逻辑

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