福州四中高三数学第30-34课时参数取值问题的题型与方法

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1、福州四中高三教学第30-34课对：参数取值问题的题矍与方出(I)彖頻取值同龜的棵衬一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别査于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1.己矢口当xGR时，不等式a+cos2xv5-4sinx+』5a_4恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围己知(xwR),另-•变量a的范围即为所求，故町考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2xv丁5。一4—a+5要使上式恒成立，只需V5«-4-a+5大于4sin

2、x+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=—2sin2x+4sinx+1=—2(sinx—1)2+3<3,丁5°-4-a+5>3即_4>a+2a-2>0,〔d—2v04上式等价于J5«-4>0或勺，解得一Sav&o5a-4>055a—4>(g—2)2说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=l-2sii?x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2xv5—4sinx+J5a_4即a+1—2sin2x<5—4sinx+^/5a—4，令sinx

3、=t,则tG[—1,1],幣理得2t2-4t+4-a+V5^-4>0,(tG[-1,1])恒成立。设f(t)=2t2-4t+4-a+V5rz-4则二次函数的对称轴为t=l,・・・f(x)在[-1,1]内单调递减。・•・只需f(1)>0,即丿5。-4>a-2.(下同)例2.已知函数f(x)在定义域(-oo,1]上是减函数，问是否存在实数k,使不等式f(k-sinx)>f(k2-sin2x)对一切实数xtii成立？并说明理由。分析：由单调性为定义域，原不等式等价于k-sinx^k2-sin2x^l对于任意xER恒成立，这乂等价于k2

4、。k2-k+->(smx——)2——(2)42不等式(1)对任意XGR恒成立的充要条件是k2w(l+sii?x)mm=l,即-iWkWl⑶119不等式(2)对任意xERtl成立的充要条件是k2-k+-^[(sinx--)2Ux=-,424即kW—l或k$2,(4)III(3)、(4)求交集，得k=-l,故存在k=-l适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。x2v2例3.设直线/过点P(0,3),和椭圆—-=1顺次交于A、B两点，试求巧的取值范围.94PB分析：木题也绝人多数同学不难得到：—但从此后却一筹莫展，问题的根源在于对题HPB心的整体把握不

5、够.事实上，所谓求収值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个(或某儿个)参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一・个不等关系.jpx思路1：从第一条想法入手，—=-^已经是一个关系式，但由于冇两个变3^,^,同时这两个PB必变最的范围不好控制，所以白然想到利用第3个变最——在线力3的斜率问题就转化为如何将兀小心转化为关于斤的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于兀的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.PB5当/与x轴不垂直时，设A（xi,ylB（x2,儿），直线/的方程为：y=kx+3,代入椭圆方程，消去y得（如

6、+4）/+54^+45=0,解之得_-27鸟±6加2一5旺'2_9^2+4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上,所以只需考虑k>0的情形.一E-27"6加2_5一27丘一6丿9疋一5LJk>0II寸，Xi—Z9—Z919宀4-9宀4APx,—9鸟+2加2—5118£所以—二二1——PBx29k+2加2一5%+2加2—5由△二(一54幻2一180(9£2+4)»0,解得>

7、,所以综上PB51<,5思路2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定£的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与£联系起來.-般來说，韦达定APX理总

8、是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于竺=-」不是关于坷的对称PBX关系式•原因找到后，解决问题的方法自然也就冇了，即我们可以构造关于州，兀2的对称关系式.把直线/的方程y=恋+3代入椭圆方程，消去y得到关于兀的一元二次方程韦达定理▼xA+xlf=f(k),xAxB=g(k)解2：设肯线/的方程为：y=Rx+3,代入椭圆方程，消去y得(9/+4)/+54^+45=0(*)-54k则V'加+4’令州"，则，Q+片+2=32严-45%.245^+20x.x9=7-