专题十:参数的取值问题的题型与方法

专题十:参数的取值问题的题型与方法

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时间:2018-07-16

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1、专题十:参数取值问题的题型与方法(4课时)求参数的取值范围的问题,在中学数学里比比皆是,这一讲,我们分四个方面来探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例1.已知当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.分析:在不等式中含有两个变量及,其中的范围已知(),另一变量的范围即为所求,故可考虑将及分离.解:原不等式即:要使上式恒成立,只需大于的最大值,故上述问题转化成求的最值问题.,∴,即,上式等价于或,解得.说明:注意到题目中出现

2、了及,而,故若把换元成,则可把原不等式转化成关于的二次函数类型.另解:即,令,则,整理得,恒成立.设,则二次函数的对称轴为,在内单调递减.只需,即.(下同第一种解法)例2.已知函数在定义域上是减函数,问是否存在实数,使不等式对一切实数恒成立?并说明理由.分析:由单调性与定义域,原不等式等价于对于任意恒成立,这又等价于对于任意恒成立.不等式(1)对任意恒成立的充要条件是,即-----(3)不等式(2)对任意恒成立的充要条件是,13即或,----------(4)由(3)、(4)求交集,得,故存在适合题设条件.说明:抽象函数与不等式的综合题常常需要利用单调性脱掉函数记号

3、.例3.设直线过点,和椭圆顺次交于、两点,试求的取值范围.分析:本题中,绝大多数同学不难得到:,但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手,=已经是一个关系式,但由于有两个变量、,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线的斜率.问题就转化为如何将转化为关于的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去得出关于的一元二次方程,其求根公式呼之

4、欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程xA=f(k),xB=g(k)得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB=—(xA/xB)由判别式得出k的取值范围解1:当直线垂直于轴时,可求得;当与轴不垂直时,设,直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得,解之得13因为椭圆关于轴对称,点在轴上,所以只需考虑的情形.当时,,,所以===.由,解得,所以,综上.把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程xA+xB=f(k),xAxB=g(k)构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB

5、=—(xA/xB)由判别式得出k的取值范围思路2:如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于的对称关系式.解2:设直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得(*)13则令,则,在(*)中,由判别式可得,从而有,所以,解得.结合得.综上,.说明:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的

6、有界性法,函数的性质法,数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例4.当时,不等式恒成立,求的取值范围.xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,图象是抛物线,右边为常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解.解:设:,,则的图象为右图所示的抛物线,要使对一切,恒成立,显然,并且必须也只需当时的函数值大于等于的函数

7、值.故,,1

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