专题十：参数的取值问题的题型与方法

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1、专题十：参数取值问题的题型与方法（4课时）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例1．已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析：在不等式中含有两个变量及，其中的范围已知()，另一变量的范围即为所求，故可考虑将及分离.解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题.，∴，即，上式等价于或，解得.说明：注意到题目中出现了及，而，故若把换元成

2、，则可把原不等式转化成关于的二次函数类型.另解：即，令，则，整理得，恒成立.设，则二次函数的对称轴为，在内单调递减.只需，即.(下同第一种解法)例2．已知函数在定义域上是减函数，问是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？并说明理由.分析：由单调性与定义域，原不等式等价于对于任意恒成立，这又等价于对于任意恒成立.不等式（1）对任意恒成立的充要条件是，即-----(3)不等式（2）对任意恒成立的充要条件是，13即或，----------(4)由（3）、（4）求交集，得，故存在适合题设条件.说明：抽象函数与不等式的综合题常常需要利用单调性脱掉函数记号.例3．设直线过点，和椭圆顺次交于、两点，试

3、求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量、，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线的斜率.问题就转化为如何将转化为关于的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去

4、y得到关于x的一元二次方程xA=f（k），xB=g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB=—（xA/xB）由判别式得出k的取值范围解1：当直线垂直于轴时，可求得；当与轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得13因为椭圆关于轴对称，点在轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以===.由,解得，所以，综上.把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+xB=f（k），xAxB=g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB=—（xA/xB）由判别式得出k的取值范围思路2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考

5、虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得（*）13则令，则，在（*）中，由判别式可得，从而有，所以，解得.结合得.综上，.说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若

6、把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例4．当时，不等式恒成立，求的取值范围.xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解.解：设：，，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切，恒成立，显然，并且必须也只需当时的函数值大于等于的函数值.故，，1

7、端点“抬在”轴的上方。故有：13，.说明：给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在内恒有，则有.例6．对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：及关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于0恒成立的问题.略解：不等式即，设，则在上恒大于0，故有：即解得：∴或.例7