通信原理及SystemView仿真测试第3章随机过程

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1、3.1随机过程的基本概念3.2平稳随机过程3.3高斯随机过程3.4平稳随机过程通过线性系统3.5窄带随机过程3.6正弦波加窄带高斯过程3.7高斯白噪声和带限白噪声第3章随机过程3.1.1随机过程从数学的角度，随机过程ξ(t)的定义如下：设随机实验E的可能结果为ξ(t)，实验的样本空间S为{x1(t),x2(t),…,xi(t),…}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数(又称为实现)，每次实验之后，ξ(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此ξ(t)为随机函数。当t代表时间量时，称此ξ(t)为随机过程，如图3-1所示。3.1随机过程的基本概念图3-1随机过程的样本函数3.1.2随机过程的

2、统计特性随机过程的统计特性是通过它的概率分布或数字特征加以表述的。1.随机过程的概率分布设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数描述。我们称F1(x1,t1)=P{ξ(t1)≤x1}(3-1)为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即(3-2)对于任意时刻t1,t2,…,tn∈T，ξ(t)的n维分布函数定义为Fn(x1,x2,…,xn；t1,t2,…,tn)=P{ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn}(3-3)同理，如果存在(3-

3、4)2.随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性，但在某些场合，还需关心随机过程的数字特征，比如随机过程的数学期望、方差和相关函数等。在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单、直观。1)数学期望　　随机过程ξ(t)的数学期望定义为(3-5)2)方差　　随机过程ξ(t)的方差定义为(3-6)可见，方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。3)相关函数　　衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的统计相关特性时，常用协方差

4、函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。　　协方差函数定义为(3-7)式中：t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)是在t1与t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2；t1,t2)是二维概率密度函数。　　相关函数定义为(3-8)由式(3-7)和式(3-8)可得B(t1,t2)和R(t1,t2)之间的关系：B(t1,t2)=R(t1,t2)－E［ξ(t1)］·E［ξ(t2)］=R(t1,t2)－a(t1)a(t2)(3-9)若a(t1)或a(t2)为零，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。　　由以上分析可见，相关函数与选择时刻t1与t2有关，如果t2>

5、t1，且t2=t1+τ，即t2与t1之间的时间间隔为τ，则R(t1,t2)可以表示为R(t1,t1+τ)。这说明相关函数依赖于起始时刻t1及时间间隔τ，即相关函数是t1和τ的函数。上述B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一随机过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差函数及互相关函数。设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为Bξη(t1,t2)=E{［ξ(t1)－aξ(t1)］［η(t2)－aη(t2)］}(3-10)而互相关函数定义为Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)］(3-11)3

6、.2.1平稳随机过程的定义平稳随机过程是通信系统中占重要地位的一种特殊类型的随机过程。所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化，即对于任意选定时刻t1,t2,…,tn∈T和任意正整数n，以及任意值τ，且x1,x2,…,xn∈R，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足：fn(x1,x2,…,xn；t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn；t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)(3-12)3.2平稳随机过程则称ξ(t)为平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布，则与时间t无关，而二维分布只与时间

7、间隔τ有关，即f1(x1,t1)=f1(x1)(3-13)f2(x1,x2；t1,t2)=f2(x1,x2；τ)(3-14)因此，平稳随机过程的数字特征也变得更加简明。平稳随机过程ξ(t)的数学期望(3-15)为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2也是一常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数(如式(3-16)所示)仅与时