高考数学一轮复习专题13导数的概念及运算（含解析）

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1、专题13导数的概念及运算最新考纲1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.基础知识融会贯通1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)

2、内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1

3、)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【知识拓展】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)

4、的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小

5、f′(x)

6、反映了变化的快慢，

7、f′(x)

8、越大，曲线在这点处的切线越“陡”．重点难点突破【题型一】导数的计算【典型例题】求下列函数的导数（1）y＝2x3﹣3x2﹣4；（2）y＝xlnx；（3）．【解答】解：（1）y′＝6x2﹣6x；（2）y′＝lnx+1；（3）． 【再练一题】已知函数f（x）＝ex（2﹣lnx），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）的值为　　．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex（2﹣lnx）＝2ex﹣exlnx，其导数f′（x）＝2ex﹣exlnx，则f′（1）＝2e1﹣e1ln1e，故答案为：e． 思维升华导数

9、计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．【题型二】导数的几何意义命题点1　求切线方程【典型例题】32．已知曲线C：y＝x3﹣3x2+2x（1）求曲线C上斜率最小的切线方程．（2）过原点引曲线C的切线，求切线方程及其对应的切点坐标．【解答】解：（1）y'＝3x2﹣6x+2＝3（x﹣1）2﹣1，所以，x＝1时，y'有最小值﹣1，把x＝1代入曲线方程得：y＝0，所以切点坐标为（1，0），故所求切线的斜率为﹣1，其方程为：y＝﹣x+1．（2）设切点坐标为M（x0，y0），则y0＝x03﹣3x02+2x0，切

10、线的斜率为3x02﹣6x0+2，故切线方程为y﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（x﹣x0），因为切线过原点，所以有﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（﹣x0），即：x03﹣3x02+2x0＝x0（3x02﹣6x0+2），解之得：x0＝0或．所以，切点坐标为M（0，0）或，相应的切线方程为：y＝2x或即切线方程为：2x﹣y＝0或x+4y＝0． 【再练一题】已知函数y＝ex（1）求这个函数在x＝e处的切线方程；（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程．【解答】解：（1）函数y＝ex，f（e）＝ee，则切点坐标为（e，ee），求导y′＝ex，则f′（e）＝ee，即切线斜率为ee，则切线方程为y﹣

11、ee＝ee（x﹣e），化简得y＝eex﹣ee+1+ee；（2）y＝ex，y′＝ex，设切点的坐标为（x0，ex0），则切线的斜率为f′（x0）＝ex0，故切线方程为y﹣ex0＝ex0（x﹣x0），又切线过原点（0，0），则﹣ex0＝ex0（﹣x0），解得x0＝1，y0＝e，则切线方程为y＝ex． 命题点2　求参数的值【典型例题】若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y＝xex相切，则m的取值