高考数学一轮复习专题2.11导数的概念及计算练习（含解析）

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1、第十一讲导数的概念及计算【套路秘籍】---千里之行始于足下一.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x处的瞬时变化率limf（x0＋Δx）－f（x0）＝0x0ΔxlimΔy为函数y＝f(x)在x＝x处的导数，记作f′(x)或y′

2、，x000x＝x0Δx即f′(x)＝limΔy＝limf（x0＋Δx）－f（x0）.0x0x0ΔxΔx(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(

3、x－x0).二.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0α*α－1f(x)＝x(α∈Q)f′(x)＝αxf(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxxxf(x)＝ef′(x)＝exxf(x)＝a(a＞0)f′(x)＝alna1f(x)＝lnxf′(x)＝x1f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝xlna三.导数的运算法则若f′(x)，

4、g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；f（x）g（x）f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(3)′＝(g(x)≠0).2[g（x）]四.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.数f′(x)＝limf（x＋Δx）－f（x）称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.x0Δx【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一导数的概念f(xx)

5、f(x2x)00【例1】设f(x)是可导函数，且lim3，则f(x0)。x0x【答案】-1f(xΔx)f(x2Δx)f(xΔx)f(x)[f(x2Δx)f(x)]000000【解析】由题意limlimΔx0ΔxΔx0Δxf(xΔx)f(x)f(x2Δx)f(x)0000limlimΔx0ΔxΔx0Δxf(xΔx)f(x)f(x2Δx)f(x)0000lim2limΔx0ΔxΔx02Δxf'(x)2f'(x)3f'(x)=3，所以f'(x)1．0000【举一

6、反三】f(1+3△x)−f(1)1.设函数y=f(x)可导，则lim等于。△x→0△x1【答案】f'(1)3f(x+△x)−f(x)1f(1+3△x)−f(1)1【解析】∵函数y=f（x）可导，根据导数的定义f'(1)=lim可知lim=f'(1)。△x→0△x3△x→03△x3fx0+3Δx−fx0'2．若lim=1，则fx0=。Δx→0Δx1【答案】3fx0+3Δx−fx0=1，所以3limfx0+3Δx−fx0=1，所以3f''1【解析】由题得limx0=1，所以fx0=.Δx→0ΔxΔx→03Δx3考向二利用公式及运算法则求导【例2】

7、求下列函数的导数2111xx(1)yx(x)（2）y(x1)(1)（3）yxsincos3xxx222xx4y(5)yesin2x3(2x1)【答案】见解析31'22【解析】（1）yx1,y3x.23xx111311'1111（2）先化简,yxx1x2x2，yx2x21.xx222xxxx1（3）先使用三角公式进行化简.yxsincosxsinx222''1'1'1yxsinxx(sinx)1cosx.22232222x

8、(2x1)x3(2x1)22x2x(4)y'；64(2x1)(2x1)xxx5y'esin2x2ecos2xe2cos2xsin2x.【套路总结】导数计算的原则和方法1.原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。2.方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化

9、为和或差的形式，再求导。【举一反三】1．下列求导运算正确的是（）A．(3x)'=x•3x−1B．(2ex)'=2ex（其中e为自然对数的底数）21'1x'cosx−