概率论 第四章 随机变量的数字特征

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1、第三章随机变量的数字特征数学期望求法性质离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数四条性质方差定义求解性质五条性质几种常见分布的期望和方差协方差与相关系数定义性质3条性质以及定理3-4协方差阵与相关阵定义求解不相关与独立的关系以及各自判定条件矩的定义一、选择题1.设与独立同分布，且方差存在，记则、必然。不独立；独立；2.将一枚硬币重复抛掷n次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则。-1013.设独立同分布，且方差均为令，则下列正确的是。二、填空题1、设一次试验成功的概率为，进行100次独立重复试验，当时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。分析

2、：以表示100次试验中成功的次数，则其方差为显然当时，方差达到最大，最大值为25，此时其标准差也达到最大，最大值为5。2、设，求方差。3、设与的相关系数为0.9，若则与的相关系数为。0.9练习某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机的取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。以表示一天中调整设备的次数，求。（假设各个产品是否为次品相互独立）解：设表示抽检的10件产品中的次品数，则从而可得次品数多于1的概率为则从而得练习同时掷n个骰子，求掷出的点数之和的数学期望。解：设表示掷出的点数之和，表示第个骰子掷出的点数，则显然

3、有而所以，从而，第四章大数定律与中心极限定理要求：1.理解切比雪夫（Chebyshev）不等式；理解切比雪夫定理和伯努利定理。2.理解林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）和棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限）。大数定律中心极限定理lawoflargenumbers马尔可夫（markov）不等式切比雪夫（Chebyshev）不等式的更一般形式12Convergentinprobability10IndependentidenticaldistributionCentrallimittheorem练习1：设各零件的质量都是随机变量

4、，他们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg。问5000只零件的总质量超过2510kg的概率是多少？分析：独立同分布，共同的期望、方差，符合独立同分布的中心极限定理（L-L）条件。解：设表示第个零件的质量，则，所求概率即为练习2：设某产品的废品率为，求10000件产品中废品数不大于70的概率。解：设表示10000件产品中的废品数，则由于所以，所求概率为类似练习：某计算机系统有120个终端，每个终端有30%的时间在使用，若每个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多终端在使用的概率。练习3：某单位内部有260部电话分机，

5、每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认为每个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候？（二项分布以正态分布为极限定理的应用）解：设表示260部分机中同时要求使用外线的分机数，则其中据题意，即要求最小的整数，使得因为n=260较大，所以有而由分布表，可知可得由即以代入，即可求得取最接近的整数，所以总机至少要设16条外线，才能有95%以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候。概率篇练习4：对于一个学生而言，来参加家长会的家长数是一个随机变量，设一个学生没有家长、1名家长、2名家长来参加会议

6、的概率分别为0.05，0.8，0.15，若学校有400名学生，设各个学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。（1）是（L-L）定理的应用；（2）是（D-L）定理的应用。练习5：一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各值的概率分别为0.3，0.2，0.5。若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率；（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。（1）是（L-L

7、）定理的应用；（2）是（D-L）定理的应用。概率篇填空题1、设则根据切比雪夫不等式，有。2、设总体服从参数为2的指数分布，为来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于。1、设为独立同分布的随机变量序列，且均服从的指数分布，记为标准正态分布函数，则【】。选择题2、设随机变量相互独立，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要【】。()有相同的数学期望；()有相同的方差；()服从同一指数分布；()服从同一离散型分布