数理经济学第四章（1）

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1、数理经济学第四章第（1）部分第一部分主要内容：1、微分方程的定义2、可分离变量的微分方程3、齐次方程4、一阶线性微分方程5、伯努利方程6、全微分方程7、二阶线性微分方程8、二阶常系数齐次线性微分方程9、二阶常系数非齐次线性微分方程10、欧拉方程11、常系数线性微分方程组解一、微分方程的定义1、问题的提出微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.2、微分方程的定义微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线

2、性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：3、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)二

3、、可分离变量的微分方程1、定义可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法例求解微分方程解分离变量两端积分2、典型例题分离变量法步骤:1、分离变量;2、两端积分-------隐式通解.小结三、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义例求解微分方程微分方程的解为解小结齐次方程齐次方程的解法一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.四、一阶线性微分方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变

4、易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.五、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程六、全微分方程及其求法1.定义:则若有全微分形式例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.2.解法:应用曲线积分与路径无关.通解为用直接凑全微分的方法.全微分方程解是全微分方程,原方程的通解为例12、积分因子法定义:问

5、题:如何求方程的积分因子?1.公式法:求解不容易特殊地:2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式可选用的积分因子有解例3则原方程为原方程的通解为(公式法)可积组合法一阶微分方程小结二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程七、二阶线性微分方程2、线性微分方程解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:例如线性无关线性相关特别地:例如2.二阶非齐次线性方程的解的结构:解的叠加原理3、降阶法与常数变易法（1）齐次线性方程求线性无关特解------降阶法代入(1)式,得则有解得刘维尔公式齐次方程通解为降阶法的一阶方程（2）非齐次线性方程通解求法------常

6、数变易法设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)(5)(4),(5)联立方程组积分可得非齐次方程通解为解对应齐方一特解为由刘维尔公式对应齐方通解为例设原方程的通解为解得原方程的通解为小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；补充内容可观察出一个特解八、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式2、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根

7、一特解为得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例3、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.特征根为故所求通解为解特征方程为例小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（