基本概念与理论

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1、第二章习题课一、基本概念与理论二、基本方法三、例题四、练习2.行列式的降阶法则（按行按列展开）。1.逆序数、n阶行列式、行列式的六条性质。3.解线性方程组的克莱姆法则。二、基本方法1.n阶行列式的计算：性质与降阶。2.用克莱姆法则解线性方程组。一、基本概念与理论（一）、计算排列的逆序数（二）、计算（证明）行列式（三）、克拉默法则三、例题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数．解例１(一)、计算排列的逆序数当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列．于是排列的逆序数为１用定义计算（证明）例２用行列式定义计算(二)、计算（证明）行列式

2、解评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．注意例３设证明由行列式的定义有评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法．２利用范德蒙行列式计算例４计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行

3、列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．３用化三角形行列式计算例５计算解提取第一列的公因子，得评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．４用降阶法计算例６计算解评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按

4、此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．５用拆成行列式之和（积）计算例７证明证６用递推法计算例８计算解由此递推，得如此继续下去，可得评注７用数学归纳法例９证明证对阶数n用数学归纳法评注计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克

5、莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解．(三)、克拉默法则解设所求的二次多项式为由题意得由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为证一、填空题四、练习二、计算下列行列式．有非零解？三、解答题．四、证明．五、设行列式求第一行各元素的代数余子式之和