2019_2020学年高中数学第二章数列2.5.3数列求和练习（含解析）新人教A版必修5

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1、第17课时　数列求和知识点一分组求和法　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)(a≠0)．解　原式＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)＝(a＋a2＋…＋an)－＝2．求数列，，，，…的前n项和．解　Sn＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋…＋n＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋＝＋1－．知识点二裂项相消法3．求和：1＋＋＋…＋．解　∵an＝＝＝2－，∴Sn＝21－＋－＋…＋－＝．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝n2＋n．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设

2、的前n项和为Tn，求证Tn＜1．解　(1)∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈N*)．(2)证明：∵Sn＝n2＋n＝n(n＋1)，∴＝＝－，∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－．∵n∈N*，∴＞0，即Tn＜1．知识点三错位相减法5．已知an＝n－2n，bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn的表达式．解　因为an＝n－2n，bn＝，所以bn＝－1，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－n，令Tn＝＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋，两式相

3、减得Tn＝＋＋＋…－＝1－－，所以Tn＝2－，即Sn＝2－－n．6．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋3log4an＋2＝0，数列{cn}满足cn＝an·bn．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和Sn．解　(1)由题意，得an＝n，又bn＝－3log4an－2，故bn＝3n－2．(2)由(1)知an＝n，bn＝3n－2，所以cn＝(3n－2)n．所以Sn＝1×＋4×2＋7×3＋…＋(3n－5)×n－1＋(3n－2)×n，　①于是Sn＝1×2＋4×3＋7×4＋…＋(3n－5)×n＋(

4、3n－2)×n＋1．　②①－②，得Sn＝＋3×2＋3＋…＋n－(3n－2)×n＋1＝－(3n＋2)×n＋1．所以Sn＝－×n．知识点四倒序相加求和7．已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log2，则数列{f(an)}的各项之和为(　　)A．36B．33C．30D．27答案　D解析　由f(x)＝x＋log2，可知＞0，解得－2＜x＜8．{f(an)}中－2＜an＜8，又an＝n－2，所以an＝－1，0，1，2，…7．由f(6－x)＝6－x＋log2可得f(x)＋f(6－x)＝6．且有f(3)＝3，数

5、列{f(an)}的各项之和为f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7)＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋[f(1)＋f(5)]＋[f(2)＋f(4)]＋f(3)＝4×6＋3＝27．故选D．8．已知函数f(x)＝x＋3sinx－＋，则f＋f＋…＋f＝________．答案　2018解析　∵f(a)＋f(1－a)＝a＋3sina－＋＋1－a＋3sin1－a－＋＝2＋3sina－＋3sin－a＝2，设S＝f＋f＋…＋f，　①则S＝f＋f＋…＋f．　②①＋②得2S＝2018×f＋f＝403

6、6，∴S＝2018．易错点一公式使用条件考虑不周全9．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋2n＋1，求an．易错分析　公式an＝是分段的，因为n＝1时，Sn－1无意义．在解答中，应加上限制条件n≥2，然后验证n＝1时的值是否适合n≥2时的表达式．本题易错解为an＝2·3n－1＋2．解　a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2．由于a1不适合此式，故an＝易错点二忽略解决问题的方法致错10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝2n－3，求数列

7、{an}的前n项和Sn．易错分析　本题如果由递推关系式求出数列的通项，再求前n项和，则过程较繁琐．由递推关系式的特点，可考虑相邻两项并项求和，此时需对n的奇偶性作分类讨论．解　当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－3)＋(2×3－3)＋…＋[2(n－1)－3]＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－3×＝．当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝2＋(2×2－3)＋(2×4－3)＋…＋[2(n－1)－3]＝2＋2[2＋4＋…＋(n－1)]－3×＝．故

8、数列{an}的前n项和为Sn＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)A．200B．－200C．400D．－400答案　B解析　S100