空气阻力与球体运动速度的函数关系_代超超

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1、物理与工程Ｖｏｌ．２３Ｎｏ．４２０１３６１空气阻力与球体运动速度的函数关系代超超杨凯龙姝明（陕西理工学院物理系，陕西汉中７２３００５）摘要通过研究乒乓球在空气阻力和重力作用下的一维落体及多次反弹运动，探索轻质量球体在运动过程中所受到的空气阻力与运动速度的函数关系．设空气阻力ｆ＝ｋｖα，ｋ和α待定，选定多组（ｋｌ，αｌ）值分别求解球体运动的动力学方程，得到多组球体位移随时间演化的函数关系，分别计算出每个函数关系对应的球体多次落地时刻ｔｌｎ及反弹高度ｈｌｎ，与实验观测得

2、到的球体落地时刻ｔｓｎ及反弹高度ｈｓｎ比较，从多组（ｋｌ，αｌ）对应的理论计算数据｛（ｔｌｎ，ｈｌｎ）｝中选出最接近实验数据的一组｛（ｔｓｎ，ｈｓｎ）｝值，它对应的（ｋｎ，αｎ）值，就决定了球体运动所受阻力随速度变化的规律ｆ＝ｋａｎｎｖ．关键词空气阻尼系数；运动速度；落地时间；反弹高度；函数关系２α－１运动物体所受空气阻力的大小与物体的形ｄｘｄｘｄｘｍ２＝－ｍｇ－ｋ（３）状、几何大小、运动速度、密度、表面光洁度等因素ｄｔ（）ｄｔｄｔ有关，文献［１］认为当物体高速运动时空气阻力ｆ其中，“｜｜”表示取绝对值运算．初始位移记为ｘ０，正比于速度的平方ｖ２；低速运动时阻力ｆ正比于初

3、始速度记为ｖ０．很明显，式（３）是二阶非线性非速度ｖ，但是这些研究结果都是特定情况下的结齐次常微分方程，α＝１和α＝２的解析解为－ｔ／ρ），论．本文通过对乒乓球在空气阻力和重力作用下ｘ（ｔ）＝ｘ０－ρｇｔ＋ρ（ｖ０＋ρｇ）（１－ｅ的落体及其多次反弹运动的研究，给出了轻质球α＝１体所受空气阻力与速度的函数关系，并提出了这ｘ（ｔ）＝ｘ０－ρｌｎσ＋ρｌｎ［ｃｏｓ（βｔ±ａｒｃｃｏｓσ）］，（４）类问题的科学有效的研究方法．α＝２／ｋ，σ＝［１＋ｖ２／（）］－１／２，ρ＝ｍ０ρｇ（ｇ／）１／２１考虑空气阻力的乒乓球落体及其反弹运动的β＝ρ动力学方程一般情况下，α取非整数值，方程

4、式（３）的解析解不存在，只能用数值方法解方程．用数值方法选质量为ｍ的乒乓球为研究对象，研究其落解式（３）时，一要给定方程中所有参数（ｍ，ｇ，ｋ，α）体及反弹运动，取落体及其反弹运动的竖直线为的具体数值，二要给定初始位移ｘ０和初始速度ｘ轴，向上为正方向，落体与地面碰撞点为坐标原ｖ０，三要选定解方程的时区时间起止点．点．设ｇ为重力加速度，ｘ为乒乓球竖直运动位由于乒乓球下落及其反弹运动受空气阻力作移，ｖ（ｔ）为乒乓球的速度．空气阻力大小ｆ＝用，各时段的起止时间未知，各时段开始时刻的速ｄｘα度ｖ０和位移ｘ０各不相同而且未知，这给数值求解ｋ，其中（ｋ，α）的值有待实验数据结合理（ｄ

5、ｔ）带来困难．要通过编程，分时段求解落体运动微论研究确定．假设乒乓球与地面的碰撞是完全弹分方程，最后叠加得到方程在整个时间段的解，这性的．于是，乒乓球运动的动力学方程为一过程就只能一步步来，即选定方程中各参数一２αｄｘｄｘｍ２＝－ｍｇ＋ｋ（下落过程）（１）ｄｔ（ｄｔ）２α收稿日期：２０１２－１２－２５ｄｘｄｘｍ２＝－ｍｇ－ｋ（反弹上升过程）（２）第一作者代超超，男，陕西理工学院物理系２０１０级学生．ａｇｏｏｄ－ｄｔ（ｄｔ）ｂｏｙｄｃ＠１６３．ｃｏｍ假定α≥１，合并式（１）和（２）为通讯作者龙姝明，男，教授，研究方向为数学物理方向物理与工程Ｖｏｌ．２３Ｎｏ．４２０１３６２

6、组数值，从头开始，逐段求解，每当解得当前时段｛ｖ｝；ｔｔ＝｛ｔ１｝；Ｈ＝｛ｈ０｝；的运动，就可能给出下一时段的“初始”条件及开为求解乒乓球各次反弹运动特征，设ｔｈ为乒始时刻，为下一段数值方法求解准备好条件．乓球每次反弹上升最大高度的时点，ｈ为时点ｔｈ对应的最大上升高度，ｔ１是落地时点，调用Ｍａｔｈ－２乒乓球落体运动的动力学方程求解思路ｅｍａｔｉｃａ８．０的Ｗｈｉｌｅ［］函数编写循环程序Ｆｌａｇ＝１；ｔｆ＝２＊ｔｌ；假设与地面的碰撞是弹性碰撞，要研究乒乓Ｗｈｉｌｅ［Ｆｌ

7、ａｇ＝＝１，ｚ＝Ｔｏｔａｌ［ｔｔ］；Ｃｌｅａｒ［ｘ］；球下落后多次与地面碰撞的反弹运动特征，只能ｅｑ＝ＮＤＳｏｌｖｅ［｛ｘ＇＇［ｔ］＝＝－ｇ－（ｋ／ｍ）ｘ＇［ｔ］Ａｂｓ［ｘ＇采用数值方法求解式（３）．由于每次反弹运动的初［ｔ］］＾０．１，ｘ［０］＝＝０，ｘ＇［０］＝＝ｖ｝，ｘ［ｔ］，｛ｔ，０，始条件都不一样，且必须在求解了前面各次反弹ｔｆ｝］；运动时段起止点及前一次反弹落地的末速度之ｘ［ｔ＿］＝ｘ［ｔ］／．Ｐａｒｔ［ｅｑ，１］；后，才能知道这次反弹的开始时间和开始速度，所ｔｌ＝ｔ／．ＦｉｎｄＲｏｏｔ［ｘ［ｔ］＝＝０，｛ｔ，ｔｆ