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1、第29卷第4期长春师范学院学报(自然科学版)2010年8月Vol.29No.4JournalofChangchunNormalUniversity(NaturalScience)Aug.2010弹簧振子势能的一种简便分析方法古丽姗(昌吉学院物理系,新疆昌吉831100)[摘要]通过分析不同情况下弹簧振子的运动规律及能量的转化过程,得出了弹簧振子在振动过程中能量转化和守恒的通用表达式。若选弹簧振子的平衡位置为坐标原点,无论弹簧振子如何放置,使用振动势能分析弹簧振子势能都会使思考和计算过程变得简便,可以直接写出谐振动的表达式,其机械能守恒定律的最终表达式将完全相同,从而能收到
2、良好的简化效果,突破问题难点。[关键词]弹簧振子;弹性势能;保守力;振动势能[中图分类号]O32[文献标识码]A[文章编号]1008-178X(2010)04-0057-05弹簧振子是研究简谐振动的理想模型,并作为一种重要的物理模型广泛应用于物理学领域.这种理想模型对弹簧振子系统进行了三点抽象和忽略:第一,认为此系统中的弹簧为轻弹簧,弹簧质量相对于振子的质量可以忽略不计;第二,系统内的弹簧振子在光滑面上运动,弹簧振子在运动过程中所受的摩擦阻力可不考虑;第三,将弹簧振子视为质量为m的质点,其实弹簧振子的弹簧都有质量,是非理想的弹簧振子,当然可以用等效质量的方法进行处理,且实
3、际弹簧振子的运动为阻尼振动,在此,只对理想的弹簧振子进行研究.1分析水平和竖直弹簧振子的异同,引出竖直弹簧中坐标系的变换1.1水平弹簧振子将水平放置的弹簧一端固定,另一端与跨在气垫上的滑块(称为弹簧振子)连结,将弹簧自由端伸展时的O点移动一小位置至A点,可观测到弹簧振子作变加速直线运动,由A点通过O点到达O点,继而又通过O点回到A处,并且再度开始与上述过程完全相同的运动,如此往复不已.图1水平放置的弹簧振子的振动2dx由于f(x)=-kxi(k为弹簧系数)m表示弹簧振子质量.而由牛顿第二定律可知:-f(x)=mam2=dt[收稿日期]2010-04-26[作者简介]古丽姗
4、(1968-),女,新疆昌吉人,昌吉学院物理系副教授,从事大学物理教学和研究。·57·2k2dx2-kx,令=ω0,上式则可写作:2+w0x=0,此时其振动表达式和机械能表达式分别为:x=Acos(wt+);mdt121212kx+mv=kA,其中x为弹簧振子到自由端(即平衡位置o)的位移.2221.2竖直弹簧振子图2竖直放置的弹簧振子的振动取弹簧原长的端点为原点,竖直向下为x轴正方向,则其松手时为计时零点,对t时刻弹簧振子坐标为x′,这里的x′是相对于弹簧自由端的位移(图未标出,此处只用文字说明).此时弹簧振子上的弹力作用为(-2dx′kx′),故弹簧振子的运动方程为:
5、-kx′+mg=m2(1),显然此时以o′为平衡位置(即以弹簧自由端为平衡dt位置)时弹簧振子不是做简谐运动.另取弹簧振子合外力为零时(即弹簧挂上弹簧振子时静止的不同位置)的位置作为坐标原点o,此时弹簧伸长x,显然此时有-kx+mg=0(2),而对t时刻弹簧振子坐标为x时的运动方程为:-k(x+x0)+mg=22dxdxm2(3),将(2)代入(3)式有:-kx=m2(4).dtdtk由此可看出弹簧振子对平衡位置o作简谐振动,ω=,振幅为A,初相位0=0,故弹簧振子的运动方mk1212程为:x=Acost,其振动表达式和机械能表达式分别为x=Acos(wt+)和kx+mv
6、+mgh=c(c为恒m22量),这里x是以平衡位置o为坐标原点的位置,这里x和前面分析中x′的意义不同.由于在此类问题的分析过程中牵扯到坐标系的变换,常会使学生感到思绪混乱,稍有不慎就容易出现上述错误.2避开坐标系变换,使用振动势能概念分析在弹簧振子、单摆、复摆作简谐振动时,由于忽略了空气阻力等摩擦力的作用,只有重力、弹力、电场力一类保守力做功,系统的机械能守恒.在其他类简谐振动中,系统的总能量也是守恒的.守恒的原因在于简谐振动系统(前述简谐振动系统包括地球且无非保守力做功)是一个封闭系统,时空具有对称性.在分析上述问题时若使用振动势能分析,情况就有所改观,这里的振动势能
7、是指重力势能和弹性势能的总和.势能函数是由与其相关的保守力做功,保守力做功等于其相关势能增量的负值,即A保守内力=ΔEp.注意:①只有对保守内力的系统,才可以引入与保守力相关的势能;②势能属于系统共有;③势能不仅与单个物体有关,而且取决于系统内所有物体的相对位置;④势能与保守力做功有关,而保守力是系统内力.以弹簧振子平衡位置x0为坐标原点,并规定该位置处振动势能为零.依据势能定义,可得到任一点的x处系统振动势能.x处系统振动势能应等于重力势能和弹性势能的和,即为它们对应的保守力做功的负值.x当弹簧竖直挂时,任意位移x处的保守力
