资源描述：
《竖直弹簧振子》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2011年第3期物理通报竞赛、考试与评价研究等效法处理竖直方向的弹簧振子周美建(泰兴中学江苏泰兴225400)摘要:从力、运动、能量三个角度,证明竖直方向上的弹簧振子和基本弹簧振子模型的等效性;举例说明把竖直方向的弹簧振子可等效为基本模型,在列方程式求解未知量时更简洁方便.关键词:弹簧振子等效性参考圆简谐运动等效或称等价是指不同的物理现象、模型、过上,下端系有质量为m的物块;或者下端固定在地面程等在物理意义、作用效果或物理规律方面是相同上,上端系有质量为m的物块;弹簧振子运动时不计的,它们之间可以相互替代,而保证结论不变.等效一切阻力.法是科学思维的基本方法之一,其实
2、质,就是在效果1.1在受力方面的等效性相同的条件下,将陌生的、复杂的、难处理的问题转设定物块静止时的位置为坐标原点O,竖直向换成熟悉的、容易的、易处理的理想研究对象,然后下为x轴正方向建立一维坐标系如图1所示,则做分析和讨论;按物理学作用,其内涵大致可分为等效原理,等效概念,等效方法,等效过程四个方面.发明家爱迪生在研制白炽灯泡时,让其助手阿普顿计算一只梨形灯泡玻壳的容积,阿普顿为此画了许多图形和曲线,做了大量计算,花费了大量时间却得不出结果来.爱迪生很不满意,就把玻壳灯泡拿来,先往里面注满水,再把水倒进量筒,很快就测出图1了灯泡玻壳的容积.爱迪生所用的思想方法就是等
3、mg=κx0(1)效法.古时曹冲称象依据的原理、中学数学中各种等当物块向下拉离平衡位置位移为时,弹簧对物效代换、几何学中复杂的图形转换为各种简单的图块的弹力为形都是等效法.中学物理中等效的思维方式几乎渗F=-κ(x0+x)(2)透于每个单元中,如合力与分力、合运动与分运动、对物块进行受力的分析,物块所受重力和弹力的合平均速度、质点、点电荷等概念的引入,复杂电路简力充当其运动的回复力,故有化为等效电路问题,变质量转化为定质量等问题无F回=mg+F(3)不是等效法的具体应用.将(1)、(2)代入(3)中可得1证明竖直方向的弹簧振子和基本弹簧振子的等F回=-κx效性其中回复
4、力系数为弹簧的劲度系数.该式与水平方向上的基本的弹簧振子模型完全一根轻弹簧劲度系数为κ,上端固定在天花板相同,回复力系数都是弹簧的劲度系数.—64—2011年第3期物理通报竞赛、考试与评价研究21.2在运动学方面的等效性ax=-ωAcos(ωt+φ0)2πay=-ωAcosωt+φ0-2π这是两个相位差为的相同的谐振.反之,任2何一个简谐运动,都可以用一个匀速圆周运动描述,这个圆叫做简谐运动的参考圆.图2所以,竖直方向上的弹簧振子在运动参量、振动如图2所示,质点P以角速度ω沿半径为R的圆方程、速度公式、加速度公式上与基本弹簧振子模型轨道做匀速圆周运动.将P的运动正交分
5、解为沿水完全相同.平(x轴)与竖直(y轴)的两个分运动.P在水平直1.3在能量方面的等效性径上的投影P′的运动即为P的x方向的分运动.显对于竖直方向上的弹簧振子,假设物体经过平然,P沿圆周运动一个周期,P′沿x方向(圆直径)以衡位置时速度最大为vm,则vm=Aω,规定弹簧处于O为中心往复运动完成一次全振动.建立坐标系,容原长时,弹簧的弹性势能为零.那么,对平衡位置和易得到任意位置,根据机械能守恒定律2x2Fx=-mωR·=-mωx12121212Rmvm+κx0+mgx=κ(x0+x)+mv22222令κ=mω,可得Fx=-κx,可见P′的运动是其中简谐运动.1212
6、12κ(x0+x)=κx0+κx+κx0x=从上面的讨论可知,一个匀速圆周运动可以正222交分解成两个简谐运动,每个简谐运动的振幅1κx2120+κx+mgx22A=R整理可得2πm周期T==2π121212ωκmvm=κx+mv(4)222κ圆频率ω=对于基本模型水平方向上的弹簧振子,对平衡m位置和任意位置,根据机械能守恒定律若P的初位置坐标为(x0,y0),则初相位121212y0mvm+κx+mv(5)tanφ0=222x0可见,式(4)、(5)完全相同,但式(4)、(5)中那么两个分运动的振动方程12x=Acos(ωt+φ0)κx这一项蕴含的意义不相同;在(4
7、)中仅表示弹2πy=Asin(ωt+φ0)=Acosωt+φ0-簧的弹性势能或弹簧弹力所做的功;而在(5)中表2示弹性势能和重力势能之和或弹簧弹力和重力做功速度公式之和.vx=-Aωsin(ωt+φ0)1.4结论:πvy=-Aωsinωt+φ0-2根据在力、运动、能量三个方面等效性可知,在加速度公式处理竖直方向上的弹簧振子完全可以等效为水平方—65—2011年第3期物理通报竞赛、考试与评价研究向的基本模型处理,从而使过程和问题变得简单、清故最大速度为晰.等效性的本质在于弹簧的弹力和重力都是保守κvm=Aω=2x0=2gx02m力,在做功和能量上有相似
