多维空间的立体角

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1、汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/191/5多维空间的立体角立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从二维空间的平面角开始对n维空间的立体角进行探讨。1.平面角我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元??可以表示为：??̂??=?其中，??̂的长度近似为??̂，设?→?的任意曲线微元（即为直线微元）为??，??与半径?的夹角为?，则：??̂=??∙sin?对上述微元进行积分，则从A到B的曲线对应的角为：????=∫sin???设dl的法线方向的单位向量为??，设??与?的夹角为ψ则：?ψ=−?2???????∙???=∫cos?=∫????2.立体角

2、对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/192/5设曲面的面积微元为??（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则??在以?为半径的球上的投影面积为：??∙???⊥=?立体角微元dΩ为：??∙?dΩ=?3曲面对空间的立体角为：??∙?Ω=∫?3?不难得到，全空间的立体角Ω=4π下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cos?)半球：2π球面三角形：A+B+C−π四面体：1对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠A

3、OB，θ=(α+β+2γ)，则：Ωθθ−αθ−βθ−γtan=√tantantantan42222汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/193/5?10√2正方体的一个顶角的立体角为，正四面体的一个顶角为arctan（或者22323arccos）273.?维空间的立体角设n维立体角Ω的顶点位于n维球的球心，设n维球的表面积为S，半径为R，则：?(?)?(?)=??−1则问题的关键在于求出n维球体的表面积：由Gauss公式：∫∇∙???=∮?∙?????由于?代表n维球径向矢量，设：?=?1??+?2??+?3??+⋯+????则：∇∙?=??2+?2+⋯?212??∙??==??故：?

4、?(?)=??(?)??(?)=?(?)?通过换元易得：?(?)=???(?)其中，?(?)为单位球体的体积：?(?)=∫??1??2⋯?????0V:?2+?2+⋯+?2≤1n012?1?(?)=∫???∫??1??2⋯???−1−1??−1V:?2+?2+⋯+?2≤1−?2n−112?−1?故：?−1?=?∙(1−?2)2?−1?−1?汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/194/51?−11?−1βn=βn−1∫(1−?2)2??=2βn−1∫(1−?2)2??−10换元，令?=cos???+12Γ()n2βn=2??−1∫sin???=√???−1?0Γ(+1)2由于β1=2，

5、可得：??2βn=?Γ(+1)2最终可得：??2?(?)=???Γ(+1)2????−1?2?(?)=??(+1)2????2?(?)=??(+1)2列表如下：??(?)?(?)?(?)?22?2?2????22?4?4??2??34?31?2?2?3?2?42?22888??2?4?2?5?231531??3?5?3?6?36161616??3?6?3?7?315105151118?4?7?4?8?432433232329?4?8?4?9?4105945105汪寅鹏多维空间的立体角2018/8/195/5图像如下：附源代码：n=1:10;V=n.*pi.^(n/2)./gamma(

6、1+n/2);plot(n,V,'black+');xlabel('n')ylabel('Omega(n)')title('空间维数与立体角')