多维空间的初步研究报告

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1、.多维空间的初步研究重庆市第三十七中学高2007级8班周讯(400084)指导教师杨天才摘要本文运用已有的几何知识去大胆地猜测多维空间及多维空间下的多维几何图形的存在，并巧妙地利用了维数类推法、降维思考法、穿越空间法、动态增维模拟法和纸面模拟法等五种方法，成功地研究了纯数学的多维几何空间，构建了适合于多维空间的几何模型，总结出多维几何图形所满足的纯数学规律共计约120个结论，其中有些结论是事先没有想到的或难以置信的，并提出了尚待解决的几个问题。最后将这些结论归类，编成了一本适合高校学生的教材，教材中主要采用循序渐进的思维方式编排，从发现问题开

2、始，通过观察猜测，最后严谨证明。其实，有太多的代数、几何规律被悄无声息地掩埋在我们这个维数仅有三维的空间中而没有表现出来。只有冲破维数的局限，在多维空间中，代数与几何才能真正完美的结合，这是思维的飞跃与创新！关键词四维、四维空间、多维、多维空间、多维几何1．引言课题的提出从几个问题开始：一个三角形有3个顶点、3条边，三棱锥有4个顶点、6条棱、4个面，一个正方形有4个顶点、4条边，正方体有8个顶点、12条棱、6个面。正方形的对角线长，正方体的对角线长。圆的面积为πR2，球的体积为4/3πR3……一种科学的直觉告诉我，上面的数据一定存在一种关系，

3、我得想办法弄清楚。可是，数据太少了。仅仅从正方形的4条边和正方体的12条棱，又能看出什么呢。但至少有一点我很明确：这是由于空间维度的差异造成的。点动成线、线动成面、面动成体。这里面也有空间维度的关系。点是零维的，一条线是一维空间，一个面是二维空间，一个立方体的内部空间是三维空间，那么“体动”成什么？相信每个人都曾经问过或想过，想象一个立方体在空间中运动的情景，然后定论：体动成体。直觉告诉我这是错误的，因为“体动成体”令数学显得似乎不那么完美。假想在一个二维的平面内，同样有“二维人”居住，他们只能感觉到前、后、左、右四个方向，假设他们根本感觉不

4、到上和下，那么在这种情况下，由于他们还不知道可以将一个面向上、下运动。他们就会定论：面动成面。看来，这是运动方向的问题。体是三维的，它运动后形成的轨迹就可能是四维的，只是我们找不到这个特殊的方向，因为它根本不在我们的三维空间内，就像面动成体的方向根本不在“二维人”生活的平面内一样。假设我们找到了这个方向，就一定能将体运动形成四维的轨迹。-..有了四维的图形，就一定有承载它的四维空间。在一条线上，只有两个方向，在平面上有前、后、左、右四个方向，三维空间中有上、下、前、后、左、右六个方向，那么，在四维空间中就应该有八个方向！而且在四维空间中可以作

5、出4条直线两两垂直交于一点，而在三维空间中绝对做不到。有了四维空间的概念，我又提出了下面一连串的问题与猜想：矩形有长和宽，立方体有长、宽、高，那么四维的“立方体”就一定有长、宽、高，和一个四维量。那么五维、六维甚至更多维呢？平面上两条直线非平行，即相交，可到了空间中就不一样了，两条直线可以既不平行，也不相交（异面直线）。那么在四维空间中，能不能找到两个平面既不平行，也不相交？一条穿过平面的直线，在平面内形成唯一交点。那么当直线穿过我们的空间时，在空间内形成什么呢？“二维人”手里的一条线，再怎么弯曲也只能呆在平面内，而我们将线随手打一个结，就可

6、以让它不在任何一个平面内。我们不妨试试，如何打结可以让一条线不在任何一个三维空间内，这就形成了一条四维的曲线！“二维人”学的几何中，只有平面图形。他们的几何书是这样写的：“一条直线可以将整个空间（指二维人生活的平面）划分为两个区域”。而在我们看来，一个平面才能将空间隔成两部分。但是我们怎么也没想到，尽管是一个无限延展的平面穿过一个很小的四维空间，也不能将其隔成两部分！如果一个“二维人”看见立体几何书上写着“两相交平面”，他定会感到疑惑不解，因为他自己就生活在其中一个平面内，想象不到两平面相交。就象让我们去想象相交的两个三维空间一样。这真是“不

7、识庐山真面目，只缘身在此山中。”我们是不是可以学习一下“二维人”研究立体几何的科学态度，去研究一下四维空间？如果把“二维人”生活的平面扭曲，变成一个球面，会有什么结果呢？“二维人”会发现他无论向什么方向直线前进，都会回到原处。如果这个令“二维人”惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪，那么以下的情形你定会吃惊不小：在太空中，无论向什么方向飞行，不久后都会回到原处！其实想想不过就是我们的空间被扭曲成了四维的“球”而已。如果还想要讨论得深入一些，不妨试试球穿越问题。比如说一个球穿过一个二维平面，“二维人”会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点，后来眼看着扩

8、张成圆，又慢慢缩小成点，最后突然消失。如果在你面前无中生有地出现一个点，扩成球又缩回点，再消失。不要奇怪，其实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。这样的空间和图形多