3.3 线性时变连续系统状态方程的解

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1、Ch.3线性系统的时域分析目录(1/1)目录�概述�3.1线性定常连续系统状态方程的解�3.2状态转移矩阵及其计算�3.3线性时变连续系统状态方程的解�3.4线性定常连续系统的离散化�3.5线性定常离散系统状态方程的解�3.6Matlab问题�本章小结线性时变连续系统状态方程的解(1/2)3.33.3线性时变连续系统状态方程的解�严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随时间变化。�如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子器件的老化使其特性也发生变化;�火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。�但是,由于时

2、变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。�但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变系统处理。线性时变连续系统状态方程的解(2/2)�下面将讨论线性时变连续系统状态方程的求解问题,依次讨论:�线性时变连续系统齐次状态方程的解�线性时变连续系统的状态转移矩阵�非齐次状态方程的解线性时变连续系统齐次状态方程的解(1/3)3.3.1线性时变连续系统齐次状态方程的解�当系统没有外部输入作用时,线性时变连续系统的状态方程为齐次状态方程,可表示为x’(t)=

3、A(t)x(t)�这里讨论其满足初始状态x()t=x()ttt=00的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。�为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性,在系统的时间定义域[t0,tf]内,A(t)的各元素为时间t的分段连续函数。线性时变连续系统齐次状态方程的解(2/3)�下面证明时变系统齐次状态方程的解为x(t)=Φ(t,t0)x(t0)式中,Φ(t,t0)为时变系统的状态转移矩阵,它定义为如下矩阵微分方程的解。⎧Φ̇(t,t)=A(t)Φ(t,t)00⎨Φ(t,t)=I⎩00线性时变连续系

4、统齐次状态方程的解(3/3)⎧Φ̇(t,t)=A(t)Φ(t,t)00)x(t)求导,则有⎨�证明对解表达式x(t)=Φ(t,t00⎩Φ(t0,t0)=Iẋ(t)=Φ̇(t,t)x(t)=A(t)Φ(t,t)x(t)=A(t)x(t)0000且x(t0)=Φ(t0,t0)x(t0)=x(t0)说明式x(t)=Φ(t,t0)x(t0)满足齐次状态方程及其初始条件。�根据微分方程解的唯一性，所以它是齐次状态方程的解。�时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代表了初始状态x(t0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵Φ(t,t0

5、)决定。线性时变连续系统的状态转移矩阵(1/1)3.3.2线性时变连续系统的状态转移矩阵�下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:�状态转移矩阵的求解�状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的求解(1/7)1.状态转移矩阵的求解�对于线性时变连续系统,状态转移矩阵Φ(t,t0)是如下矩阵微分方程和初始条件Φ’(t)=A(t)Φ(t),Φ(t)

6、t=0=I的解,它是一个n×n维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。�为了求得状态转移矩阵Φ(t,t0)的表达式,可在时间域内对该矩阵微分方程积分,即有tΦ(t,t)=I+A(τ)Φ(τ,t)dτ0

7、∫1101t0状态转移矩阵的求解(2/7)tΦ(t,t)=I+A(τ)Φ(τ,t)dτ0∫1101t0�如果将上式中积分号内的Φ(τ1,t0)再按上式展开,则有τ1Φ(τ,t)=I+A(τ)Φ(τ,t)dτ10∫2202t0�然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入式(3-59),可得tτ⎡1⎤Φ(t,t)=I+A(τ)I+A(τ)Φ(τ,t)dτdτ0∫t1⎢⎣∫t2202⎥⎦100ttττ1⎡2⎤=I+A(τ)dτ+A(τ)A(τ)I+A(τ)Φ(τ,t)dτdτdτ∫t11∫t1∫t2⎢⎣∫t3303⎥⎦210000ttτ1=I+A

8、(τ)dτ+A(τ)A(τ)dτdτ∫t11∫t1∫t221000tτττ12⎡3⎤+A(τ)A(τ)A(τ)I+A(τ)Φ(τ,t)dτdτdτdτ∫t1∫t2∫t3⎢⎣∫t4404⎥⎦3210000=......状态转移矩阵的求解(3/7)�于是,可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵Φ(t,t0),即ttτ1Φ(,)tt=+IA()dττ+A()τA()ddτττ0∫t11∫t1∫t221000tττ12+A()τA()τA()dddττττ∫t1∫t2∫t3321000tτ1τ2τ3+A()τA()τA()τA()ddddττττ

9、τ+⋯∫t1∫t2∫t3∫t443210000�上式就是线性时变连续系统的状态转移矩阵的计算公式。�在一般情况下,它不能写成封闭的解析形式。�在实际应用此公式时,可按一定的精度要求,用数值积分