1 量纲分析法与模型简化

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1、数学建模东北财经大学管理科学与工程学院田甜课程大纲第1章:什么是数学建模第2章:数学建模的基本技术与方法第3章:基本技术与方法综合应用案例第4章:优化模型—生产与制造案例第5章:微分方程模型—健康与医疗案例第6章:差分方程模型——需求与供应案例分析第7章:稳定状态模型—环境与生态保护案例其他2MathematicalModeling2017/9/18第2章数学建模的基本技术与方法第1节:简单的建模技术与方法第2节:量纲分析法与模型简化第3节:用数据直接建模第4节:随机变量的模

2、型与模拟方法3MathematicalModeling2017/9/18第2节:量纲分析法与模型简化量纲基础量纲分析法模型简化基础与无量纲化方法4MathematicalModeling2017/9/18第2节:量纲分析法与模型简化量纲基础量纲分析法模型简化基础与无量纲化方法5MathematicalModeling2017/9/18量纲基础单位与量纲(dimension、因次):单位:表征物理量的大小数值+单位=有意义例:千克——质量的大小例:米,平方米——长度的大小…量纲

3、:表征物理量的属性(单位的分类)独立使用例:质量——千克、克、斤例:长度——米、厘米、毫米…物理量的量纲是唯一的,但是其单位一般不唯一有的物理量没有量纲也没有单位,如?6MathematicalModeling2017/9/18量纲基础七个基本量纲:长度?的量纲:?=?电流:?质量?的量纲:?=?热力学温度:?时间?的量纲:?=?物质的量:?发光强度:?非基本量纲(导出量纲):−?例:速度?的量纲:[?]=??−?例:加速度?的量纲:[?]=??无量纲的量可以理解为量纲为1。通常

4、物理量?的量纲表示为:[?]或者????7MathematicalModeling2017/9/18量纲基础量纲的运算法则:1.只有量纲相同的物理量,才能彼此相加、相减和比较2.若有?=?????????,?=?????????,则有??=??=???+?????+?????+??&??=??=??????????????????3.如果?/???为无量纲的量,则?=???。−?例:速度?的量纲:[?]=??−?例:加速度?的量纲:[?]=??8MathematicalModeling2017

5、/9/18量纲基础量纲独立:一个物理量的量纲不能用另外几个物理量量纲的幂次积表示。已知物理量??,??,??,不存在不全为零的数??,??,?,使得?????????=?,则物理量?,?,????????量纲独立。有基本量纲的物理量是相互独立的。例:长度、质量、时间是相互独立的。如果物理量的量纲不独立,则他们是量纲相关的。例:速度、长度、时间是量纲相关的。9MathematicalModeling2017/9/18第2节:量纲分析法与模型简化量纲基础量纲分析法模型简化基础与无量纲化

6、方法10MathematicalModeling2017/9/18量纲分析法量纲齐次原则:表达式两端各项的量纲必须一致。??例:匀速运动基本方程?=???+???−1−22其量纲公式为?=???+???=?+?说明:1.工程中有个别经验公式量纲不齐次。2.若表达式满足量纲齐次原则,可使其变成无量纲表达式:用表达式的任意一项去除其左右两边各项。12例:?/?0?=1+??/?0?是无量纲方程211MathematicalModeling2017/9/18量纲分析法量纲分析法:利用量纲齐次原

7、则寻求物理量之间的关系从而建立数学模型。常用的量纲分析方法:1.雷利法2.?定理(??定理)12MathematicalModeling2017/9/18量纲分析法—雷利法雷利法:假定各个物理量?,??,??,??,…之间呈幂次积关系,即?=??????????…???然后根据量纲齐次原则分析相关参数??,??,??,…。利用雷利法进行数学建模的步骤:1.列出所有物理量及其量纲。2.假定各个物理量之间呈幂次积形式,即?=??????????…???(?为无量纲的量,??,??,??为参数)13

8、3.利用量纲齐次原则求解该模型中的参数MathematicalModeling2017/9/18。量纲分析法—雷利法(案例)例:理想单摆的运动周期。传说伽利略观察到比萨大教堂中的吊灯来回摆动时,他对运动便开始感兴趣:单摆的摆动有多快?单摆的周期如何随着单摆的摆长、重量变化?14MathematicalModeling2017/9/18理想单摆的运动周期。传说伽利略观察到比萨大教堂中的吊灯来回摆动时,他对运动便开始感兴趣:单摆的摆动有多快?单摆的周期如何随着单摆的摆长

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1、数学建模东北财经大学管理科学与工程学院田甜课程大纲第1章:什么是数学建模第2章:数学建模的基本技术与方法第3章:基本技术与方法综合应用案例第4章:优化模型—生产与制造案例第5章:微分方程模型—健康与医疗案例第6章:差分方程模型——需求与供应案例分析第7章:稳定状态模型—环境与生态保护案例其他2MathematicalModeling2017/9/18第2章数学建模的基本技术与方法第1节:简单的建模技术与方法第2节:量纲分析法与模型简化第3节:用数据直接建模第4节:随机变量的模

2、型与模拟方法3MathematicalModeling2017/9/18第2节:量纲分析法与模型简化量纲基础量纲分析法模型简化基础与无量纲化方法4MathematicalModeling2017/9/18第2节:量纲分析法与模型简化量纲基础量纲分析法模型简化基础与无量纲化方法5MathematicalModeling2017/9/18量纲基础单位与量纲(dimension、因次):单位:表征物理量的大小数值+单位=有意义例:千克——质量的大小例:米,平方米——长度的大小…量纲

3、:表征物理量的属性(单位的分类)独立使用例:质量——千克、克、斤例:长度——米、厘米、毫米…物理量的量纲是唯一的,但是其单位一般不唯一有的物理量没有量纲也没有单位,如?6MathematicalModeling2017/9/18量纲基础七个基本量纲:长度?的量纲:?=?电流:?质量?的量纲:?=?热力学温度:?时间?的量纲:?=?物质的量:?发光强度:?非基本量纲(导出量纲):−?例:速度?的量纲:[?]=??−?例:加速度?的量纲:[?]=??无量纲的量可以理解为量纲为1。通常

4、物理量?的量纲表示为:[?]或者????7MathematicalModeling2017/9/18量纲基础量纲的运算法则:1.只有量纲相同的物理量,才能彼此相加、相减和比较2.若有?=?????????,?=?????????,则有??=??=???+?????+?????+??&??=??=??????????????????3.如果?/???为无量纲的量,则?=???。−?例:速度?的量纲:[?]=??−?例:加速度?的量纲:[?]=??8MathematicalModeling2017

5、/9/18量纲基础量纲独立:一个物理量的量纲不能用另外几个物理量量纲的幂次积表示。已知物理量??,??,??,不存在不全为零的数??,??,?,使得?????????=?,则物理量?,?,????????量纲独立。有基本量纲的物理量是相互独立的。例:长度、质量、时间是相互独立的。如果物理量的量纲不独立,则他们是量纲相关的。例:速度、长度、时间是量纲相关的。9MathematicalModeling2017/9/18第2节:量纲分析法与模型简化量纲基础量纲分析法模型简化基础与无量纲化

6、方法10MathematicalModeling2017/9/18量纲分析法量纲齐次原则:表达式两端各项的量纲必须一致。??例:匀速运动基本方程?=???+???−1−22其量纲公式为?=???+???=?+?说明:1.工程中有个别经验公式量纲不齐次。2.若表达式满足量纲齐次原则,可使其变成无量纲表达式:用表达式的任意一项去除其左右两边各项。12例:?/?0?=1+??/?0?是无量纲方程211MathematicalModeling2017/9/18量纲分析法量纲分析法:利用量纲齐次原

7、则寻求物理量之间的关系从而建立数学模型。常用的量纲分析方法:1.雷利法2.?定理(??定理)12MathematicalModeling2017/9/18量纲分析法—雷利法雷利法:假定各个物理量?,??,??,??,…之间呈幂次积关系,即?=??????????…???然后根据量纲齐次原则分析相关参数??,??,??,…。利用雷利法进行数学建模的步骤:1.列出所有物理量及其量纲。2.假定各个物理量之间呈幂次积形式,即?=??????????…???(?为无量纲的量,??,??,??为参数)13

8、3.利用量纲齐次原则求解该模型中的参数MathematicalModeling2017/9/18。量纲分析法—雷利法(案例)例:理想单摆的运动周期。传说伽利略观察到比萨大教堂中的吊灯来回摆动时,他对运动便开始感兴趣:单摆的摆动有多快?单摆的周期如何随着单摆的摆长、重量变化?14MathematicalModeling2017/9/18理想单摆的运动周期。传说伽利略观察到比萨大教堂中的吊灯来回摆动时,他对运动便开始感兴趣:单摆的摆动有多快?单摆的周期如何随着单摆的摆长

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