0--利用基本不等式求范围的四个典例--教师版.

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1、利用基本不等式求范围的四个典例关键词：过河拆桥、放缩法、配凑法、最后一招——反代；【典例1---过河拆桥】211.母题：已知a,b0，且ab1，求的最小值.ab212ba答案：(ab)()3322；abab21变式1：已知a,b0，且3，求ab的最小值.ab212ba322答案：()(ab)3322，∴ab；abab3变式2：已知a,b0，且2ab3ab，求ab的最小值.答案：同变式1；ab变式3：已知a,b0，且ab2，求的最大值.a1b1ab(a1)1(b1)111答案：

2、2()，a1b1a1b1a1b111问题变为：(a1)(b1)3，求的最小值，下略；a1b1b2变式4：已知a,b0，且ab1，求的最小值.a1bb21a2(a1)2222答案：变形，1，下略；a1ba1ba1bab22a2b变式5：已知a,b为正实数，且ab2，则的最小值为.ab1322答案：；3222a2b2(b1)2(b1)12121解：a(ab12)1，ab1ab1ab1ab1212(b1)a而(ab1)(

3、)3322，于是……；ab1ab1第1页共17页11变式6：若a0,b0，且1，则a2b的最小值为.2abb1换元法，很有必要mn12abma注：换．元．法．即可，令2abm,b1n即可；解方程组2，b1nbn111mn1m3n313∴已知1，求a2b2(n1)(m3n)的最小值，mn2222113nm11∵(m3n)()4()423，即423，mnmnmn4233231231∴结果，即最小为；2222点评：变换分母字母非常

4、有必要；114x9y变式7：已知正数x,y满足1，则的最小值为.xyx1y1答案：25；4x9y4(x1)49y49y法一：4，（*）x1y1x1y1x1y11y1y4题：，∴x，于是（*）49x下略；----实际为函数法；xyy1x14x9y4911学生：，已知改为(1)(1)1即可；--更加好！x1y111xy11xy第2页共17页14.已知实数x,y满足x2y3xy，且对任意的实数x(2,),y(1,)，不等式2(xy3)a(xy3)10恒成

5、立，则实数a的取值范围是.215答案：(,]；105详解：法一：换元，y1(x2)即可；x2法二：十字相乘，(x2)(y1)5，目标(x2)(y1)的范围25；【对比】1114（正定2015高三月考理科卷T14）若正数a,b满足1，则的最小值为.aba1b11114b14(a1)答案：4；1，得ab4，∴[(a1)(b1)]()59，aba1b1a1b1好像不对？点评：如果ab4，则可以做；函数法：一元；11b1b14条件得：1，即a，代入，得，原式abbb1bb

6、11b1b144，（条件：暗含a1,b1）1b1注：函数法理论上能解决很多问题；如果好消元的话；11变式8—应用1：已知a,b0，2ab1，若≥m恒成立，求m的最大值（或范围）；ab答案：m322；第3页共17页2a变式9—应用2：已知0x1，且≥3恒成立，求a的值；x1x22答案：法一：函数法，分离变量得：a5(3x)，而(3x)26，minxx∴a526；法二：不等式法，似缺a0条件；11M变式10—应用3：已知abc，且0恒成立，求M的最大值；abbcca1111答案：M(a

7、c)()[(ab)(bc)]()，∴M4；；abbcabbc11M注：已知abc，且0恒成立，求M的取值范围.abbcca1111答案：M(ac)()[(ab)(bc)]()，∴M4；abbcabbc注：以上各题，形异质同；【条件是不等关系】211.已知实数x,y满足xy0，且xy2，则的最小值为.x3yxy方法一∵42x2y，∴2121112(xy)x3y()(xy)()[(x3y)(xy)][3]x3yxyx3yxy22x3yxy1

8、21322(322)，由于xy2，∴；2x3yxy42121或