专题-立几中的平行类(线面平行、面面平行)证明

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1、专题立体几何中的平行类（线面平行、面面平行）证明类型一、直线与平面平行的判定（判定一条直线和一个平面平行，一般利用线面平行的判定定理，或者转化为经过这条直线的平面和这个平面平行.）1、判定定理：符号语言：利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。2、利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。类型二、平面与平面平行的判定1、面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．

2、2、平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．3、符号语言：　　　　4、判定平面与平面平行的常用方法：①利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；②利用面面平行的传递性：例1、如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。证明：PQ//平面BCC1B1【证明】方法一：如图，取B1B中点E,BC中点F，连接PE、QF、EF，因为在

3、三角形A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，所以PEA1B1，同理，QFAB，又因为A1B1AB,所以PEQF所以四边形PEFQ是平行四边形，所以PQ//EF.又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，所以PQ//平面BCC1B1.方法二：如图，取AB的中点E,连接PE,QE,因为P是A1B的中点，所以PE//A1A,有A1A//BB1,所以PE//BB1又PE平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1，同理QE//平面BCC1B1，有PE、QE平面PQE,PEQE=E,所以平面PQE//平面BBC1B1，又PQ平面PQE,所以PQ//

4、平面BCC1B1.例2．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．解　当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF平面BFM，∴BF∥平面AE例3.如图，已知正方形的边长是13，平面外一点到正方形各顶点的距离都为13，分别是上的点，且，（1）求证：//平

5、面；（2）求线段的长。解：连AN并延长和BC交于E点，则EN：NA=BN：ND（1）证明：而平面，平面平面（2）解：由余弦定理可得：例4.如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，BE//CF，∠BCF=900，求证：AE//平面DCF【解析】过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩形，所以ADEG，从而四边形ADGF为平行四边形，故AE//DG。因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE//平面DCF【点评】作EG⊥CF于GADEGAE//DGAE//平面DCF例5、如下图，在正方体ABCD—A1B1

6、C1D1中，M、O分别是A1B、AC的中点．求证：OM∥平面BB1C1C.【证明】方法1：连接AB1，B1C，如右图．因为M是AB1的中点，O是AC的中点，所以MO∥B1C.又MO⊄平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，所以OM∥平面BB1C1C.方法2：取AB的中点N，连接MN、ON，如图，则MN∥BB1.又MN⊄平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.同理可得ON∥平面BB1C1C.又MN∩ON＝N，所以平面MON∥平面BB1C1C.而OM⊂平面MON，所以OM∥平面BB1C1C.例6.正方形ABCD与正方

7、形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.【证明】方法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD.又∵AP=DQ，∴PE=QB，又∵PM∥AB∥QN，∴，，，∴PMQN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，∵AE=BD，AP=DQ，∴PE=BQ，∴=①又∵AD∥BK，∴=②由①②得=，∴PQ∥E

8、K.又PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点