高中数学必修5常考题型：等差数列的性质

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1、等差数列的性质【常考题型】题型一、等差数列性质的应用【例1】　(1)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450.求a2＋a8的值．(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.(1)[解]　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，由等差数列的性质知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∴5a5＝450.∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.(2)[解析]　法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为

2、a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴数列{an＋bn}也构成等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)∴2×21＝7＋a5＋b5∴a5＋b5＝35.[答案]　35【类题通法】1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示．2．本题的求解主要用到

3、了等差数列的以下性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.【对点训练】1．(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.(2)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)A．14　　　　　　B．21C．28D．35解析：法一：因为{an}为等差数列，所以

4、a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.法二：因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，所以解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.(2)∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则a4＝4，又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.答案：(1)24　(2)C题型二、灵活设元求解等差数列【例2】　(1)三个数

5、成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则解得∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个

6、数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，得(1－d)(1＋d)＝－8，即1－d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.【类题通法】常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(

7、3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.【对点训练】2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.由题设知解得或∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.题型三、等差数列的实际应用【例3】　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策

8、略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．【类题通法】1．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考